Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein gewöhnlicher Kreis, der dimensionslos ist, genauer gesagt hat dieser Kreis den Radius eins. Der Einheitskreis dient dazu, die Definitionen der einzelnen trigonometrischen Funktionen schön darzustellen.

Was ist der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius eins, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, also im Punkt (0 ∣ 0). Sieh dir das folgende Bild an:

Der Kreis ist weiter in vier Teile geteilt, die wir Quadranten nennen. Rechts oben liegt der erste Quadrant, links oben der zweite, links unten der dritte und rechts unten der vierte. Weil wir diesen Kreis zur Darstellung von Winkeln verwenden werden, sind auf dem Kreis die Gradzahlen hervorgehoben. Dort, wo null Grad stehen, beginnt üblicherweise der Schenkel des Winkels und dreht sich gegen den Uhrzeigersinn. Deshalb ist der Punkt (0 ∣ 1) mit einem rechten Winkel gekennzeichnet.

Definition von Sinus und Kosinus am Kreis

Am Einheitskreis lassen sich die einzelnen trigonometrischen Funktionen sehr schön darstellen. Zuerst tragen wir einen Winkel in den Einheitskreis ein, und dann zeigen wir, wo wir am Einheitskreis die Werte der einzelnen Funktionen ablesen können.

Wir haben in den Kreis den Winkel AMB eingetragen (rot). Diesen Winkel haben wir Alpha genannt. Die Schenkel des Winkels schneiden den Einheitskreis in zwei Punkten: A und B. Wichtig ist für uns der Punkt B. Ziehen wir durch den Punkt B eine Gerade parallel zur x-Achse (im Bild ist das die gestrichelte waagerechte Linie), schneidet diese Gerade die y-Achse in genau einem Punkt. Diesen Punkt bezeichnen wir mit P_s. Dabei gilt, dass die Länge der Strecke $\overline{M{P}_s}$ (grüne Strecke) gleich dem Sinus des Winkels Alpha ist.

Weil wir uns im Einheitskreis bewegen, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, gilt, dass die Länge der Strecke $\overline{M{P}_s}$ (grüne Strecke) gleich der y-Koordinate des Punktes P_s ist, und diese ist gleich der y-Koordinate des Punktes B.

Am selben Kreis können wir auch den Kosinus ablesen. Wir ziehen dazu durch den Punkt B eine Gerade parallel zur y-Achse. Diese Gerade schneidet die x-Achse in einem Punkt, den wir mit P_c bezeichnen. Die Länge der Strecke $\overline{M{P}_c}$ ist dann gleich dem Kosinus des Winkels Alpha. Wieder können wir sagen, dass dieser Wert gleich der x-Koordinate der Punkte B und P_c ist.

Definition von Tangens und Kotangens

So wie wir am Einheitskreis Sinus und Kosinus definiert haben, können wir hier Tangens und Kotangens definieren. Zur besseren Übersicht zeigen wir zuerst, wo am Einheitskreis der Tangens vorkommt. Dazu brauchen wir eine weitere Gerade. Es ist die Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft und durch den Punkt A geht, also durch den Punkt (1 ∣ 0). Im folgenden Bild ist es die blaue Gerade:

Diese Gerade schneidet den Strahl (Schenkel des Winkels) MB in einem Punkt, den wir mit P_t bezeichnen. Die Länge der Strecke $\overline{A{P}_t}$ ist dann gleich dem Tangens des Winkels Alpha. Wieder gilt, dass es genügt, die y-Koordinate des Punktes P_t zu nehmen, und wir erhalten ebenfalls den Tangens des Winkels Alpha.

Um am Einheitskreis den Kotangens darzustellen, brauchen wir noch eine Gerade. Diesmal handelt es sich um die Gerade, die durch den Punkt (0 ∣ 1) geht und parallel zur x-Achse ist. Wieder ist sie blau hervorgehoben:

Diese Gerade schneidet den Strahl (Schenkel des Winkels) MB in einem Punkt, den wir mit P_k bezeichnen. Die Länge der Strecke $\overline{C{P}_k}$ ist dann gleich dem Kotangens des Winkels Alpha. Wie immer können wir nur die x-Koordinate des Punktes P_k nehmen und erhalten den Kotangens des Winkels.

Die Frage ist, was passiert, wenn der Winkel Alpha beim Tangens größer als 90° und beim Kotangens größer als 180° ist, denn in diesen Fällen schneidet die Gerade den Schenkel des Winkels nicht, siehe das folgende Bild:

In diesem Fall machen wir aus dem Strahl MB eine Gerade, und diese Gerade schneidet die Gerade p dann schon.

Ähnlich würden wir auch beim Tangens vorgehen.

Wann sind Tangens und Kotangens nicht definiert

Am Einheitskreis können wir etwas Interessantes bemerken. Ist der Winkel Alpha gleich 180°, dann schneiden sich die Gerade p und der Schenkel des Winkels nie, weil sie parallel sind. Wie beheben wir dieses Problem? Gar nicht, der Kotangens von 180° ist nicht definiert. Ähnlich ist der Tangens von 90° nicht definiert, weil ein solcher Schenkel parallel zur y-Achse ist und damit auch parallel zu der Geraden, mit der er sich schneiden sollte. Das folgende Bild zeigt das zumindest für den Kotangens.