Was ist eine Funktion

Die Funktion ist ein absolut grundlegender Begriff der Mathematik, den du gut verstehen solltest. Die Mathematik ist von Funktionen durchzogen, und so manches Symbol, das du seit der Grundschule kennst, ist in Wirklichkeit eine Funktion.

Analogie zur Funktion

Hast du schon einmal einen Kaffeeautomaten gesehen? Was ist für so einen Automaten typisch? Du wirfst ein paar Münzen ein, und der Automat spuckt dir einen Kaffee aus. Wenn du mehr Münzen einwirfst, antwortet der Automat mit einem besseren Kaffee.

Eine Funktion ist so ein mathematischer Kaffeeautomat. In die Funktion wirfst du eine Eingabe ein (die Münzen), und die Funktion gibt eine Ausgabe zurück (den Kaffee). Das ist das ganze Grundprinzip der Funktion.

Die Aufgabe einer Funktion ist, eine Eingabe, also eine Zahl, entgegenzunehmen, im Inneren etwas mit dieser Zahl zu machen, sie zu verändern und die neue Zahl dann als Ausgabe zurückzugeben.

Grundbegriffe

Jede Funktion hat einen Namen, der sie bezeichnet. Der häufigste Name für eine Funktion ist der Buchstabe „f“. Für eine Funktion brauchen wir eine Vorschrift, die festlegt, wie die Funktion arbeiten soll – wie der Automat den Kaffee kochen soll. Zu Beginn können wir uns eine Funktion als Tabelle mit zwei Spalten vorstellen. In der ersten Spalte steht unsere Eingabe (beim Automaten der Wert der Münzen) und in der zweiten die Ausgabe der Funktion (der Kaffee).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Eingabe}& \text{Ausgabe}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Wir sehen, dass die Ausgabe immer doppelt so groß ist wie die Eingabe, aber das muss überhaupt nicht die Regel sein. Wir können auch eine solche Tabelle haben:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Eingabe}& \text{Ausgabe}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Für den Anfang genügt uns jedoch die erste, regelmäßige Tabelle. Wir können sagen, dass diese Tabelle eine Funktion f definiert. Was macht die Funktion? Wir geben der Funktion eine Eingabe, die Funktion sucht diese Eingabe in der ersten Spalte der Tabelle und gibt die Ausgabe aus derselben Zeile zurück. Wenn wir die Ausgabe der Funktion für die Zahl drei suchen, schreiben wir das so:

$$f(3)=6$$

Wir haben die Zeile gefunden, in der die Eingabe gleich drei ist, und in derselben Zeile war die Ausgabe gleich sechs. Weiter gilt f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 und f(5) = 10. Alle Funktionen mit Tabellen aufzuschreiben, wirkt bei ein paar Zahlen vielleicht übersichtlich, aber wenn wir mit mehr Zahlen arbeiten, ist es äußerst unpraktisch. Deshalb brauchen wir eine andere Schreibweise. Wir können die Funktion durch eine Funktionsvorschrift angeben. In unserer Tabelle war die Ausgabe doppelt so groß wie die Eingabe. Das könnten wir mit einer Funktionsvorschrift so aufschreiben:

$$f(x)=2\cdot x$$

Das ist eine einfache lineare Funktion, aber das ist vorerst egal. Was sagt uns dieser Term? Der Buchstabe f steht für den Namen der Funktion, das wissen wir schon. Der Ausdruck in den Klammern, also der Buchstabe x, bezeichnet den Parameter der Funktion. In der Analogie mit dem Automaten wäre das der „Wert der eingeworfenen Münzen“. Der Parameter einer Funktion ist eine Variable, in der der von uns übergebene Wert gespeichert wird. Würden wir in den Automaten (die Funktion) zwanzig Cent einwerfen, würde in der Funktion x = 20 gelten. Und mit diesem Wert arbeitet der Automat bzw. die Funktion dann auf ihre Weise weiter.

Danach folgt das Gleichheitszeichen, und hinter dem Gleichheitszeichen steht die eigentliche Vorschrift, die angibt, was mit dem Wert x geschehen soll. Wir sehen, dass die Funktion den übergebenen Wert x mit zwei multipliziert. Das ist alles.

Weitere Beispiele für Funktionen

Auf dieser rechten Seite kann praktisch jeder mathematische Term stehen. Es können dort auch weitere Funktionen stehen, es können dort Bedingungen stehen, die die Definition präzisieren. Wir könnten eine Funktion zum Beispiel in Worten so definieren: „Wenn die Eingabe eine gerade Zahl ist, gib null zurück, wenn die Eingabe eine ungerade Zahl ist, gib eins zurück.“ Das wird eine Funktion sein, die nur die Eins und die Null zurückgibt, aber eine Funktion ist es trotzdem.

Wichtig ist zu verstehen, dass man eine Funktion fast beliebig definieren kann. Natürlich hat auch eine Funktion ihre Regeln, aber die sind jetzt nicht so wichtig – eine der Regeln wird außerdem gleich im nächsten Kapitel erwähnt. Die Definition einer Funktion muss auf den ersten Blick keinen Sinn ergeben, sie muss keine Ordnung haben. Eine Funktion kann ruhig immer den doppelten Wert zurückgeben, außer wenn die Eingabe die Sieben ist. Dann gibt sie die Neun zurück. Das ist wohl ziemlicher Unsinn, aber auch das ist eine Funktion.

Als Funktion können wir auch einen großen Teil der Tätigkeiten bezeichnen, die wir außerhalb der Mathematik ausführen. Wenn du zum Beispiel die Länge des Wortes „Zebra“ bestimmst, können wir sagen, dass du eine Funktion mit dem Namen „Wortlänge“ aufgerufen und ihr als Argument das Wort „Zebra“ übergeben hast. Die Funktion hat die Buchstaben im Wort gezählt und als Ausgabe die Zahl fünf zurückgegeben.

Musst du ausrechnen, wie viel Zinseszins du für einen Kredit oder ein Hypothekendarlehen zahlst? Auch das kann eine Funktion erledigen. Du definierst einfach eine Funktion, die die Höhe der Zinsen zum Beispiel nach zehn Jahren berechnet. Musst du herausfinden, wie viele Kilometer ein Auto mit einer bestimmten Anzahl Liter Benzin noch fährt? Definiere dir eine Funktion! Wenn das Auto im Durchschnitt zum Beispiel 11 Kilometer pro Liter Benzin fährt, dann können wir die Funktion, die berechnet, wie viele Kilometer wir noch fahren, so definieren:

$$\text{Strecke}(x)=11\cdot x$$

Wenn uns nur noch 17 Liter Benzin bleiben, berechnen wir die Entfernung durch den Aufruf der Funktion so:

$$\text{Strecke}(17)=11\cdot 17=187$$

Eine Funktion ist kurz gesagt alles, was uns zu einer Eingabe eine Zahl zurückgibt. Gib die Luftlinie von Bonn zu einer beliebigen Stadt zurück, gib die Länge des längsten Liedes auf einem bestimmten Album zurück, gib die Anzahl der Haare auf dem Kopf einer bestimmten Person zurück, gib die Anzahl der Beine eines übergebenen Tieres zurück usw.

Grundlegende Eigenschaft einer Funktion

Eine äußerst wichtige Bedingung für eine Funktion ist – wenn wir zur Tabelle zurückkehren –, dass sich in der ersten Spalte mit der Eingabe kein Wert zweimal wiederholt. Wenn die Tabelle so aussähe:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Eingabe}& \text{Ausgabe}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… dann könnten wir nicht sagen, was die Funktion zurückgeben soll, wenn wir die Eins eingeben:

$$f(1)=?$$

Eine Funktion muss eindeutig definiert sein, es darf nicht passieren, dass sie für dieselbe Eingabe zwei verschiedene Ergebnisse zurückgeben könnte. Das geht einfach nicht. Wir verlangen von einer Funktion, dass sie bei gleicher Eingabe immer auch die gleiche Ausgabe zurückgibt. Beachte, dass sich diese Forderung nicht auf die zweite Spalte, die Ausgabe, bezieht. Die Ausgaben dürfen ruhig gleich sein, das stört uns nicht. Diese Tabelle wäre gültig:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Eingabe}& \text{Ausgabe}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Auswerten einer Funktion

Wir wissen schon, wie die einzelnen Teile einer Funktion heißen und wie man eine Funktion grob definiert. Jetzt erklären wir Schritt für Schritt, wie das Auswerten einer Funktion abläuft. Wir haben also die Funktion f(x) = 2x. Was passiert, wenn wir die Drei in die Funktion einwerfen? Wenn wir die Drei in die Funktion einwerfen wollen, bedeutet das, dass wir für den Parameter der Funktion die Zahl drei einsetzen. Das Argument der Funktion ist die Drei, wir setzen also für alle x die Drei ein:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Wir sehen schon, dass die Funktion die Sechs ausspuckt, genau wie vorhin die Tabelle. Die Tabelle beschränkte sich aber nur auf fünf Zahlen, unsere neue Definition kann auch weitere Zahlen verarbeiten:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Dieses Vorgehen, bei dem wir für die Variable x konkrete Werte einsetzen, nennen wir Auswerten der Funktion oder Aufruf der Funktion, oder auch Anwenden der Funktion. Wenn wir also sagen, dass wir „die Funktion f mit dem Argument 5 aufrufen“, wollen wir den Wert f(5) berechnen, was in unserem Fall f(5) = 2 · 5 = 10 ergibt.

Noch zwei Begriffe zum Merken. Das, womit wir die Funktion aufrufen (das, was wir für x einsetzen), heißt Argument der Funktion. Das kann ein wenig verwirrend wirken, aber wenn wir eine Funktion f(x) haben und sie mit dem Wert drei aufrufen, also f(3), dann ist x der Parameter der Funktion und 3 das Argument der Funktion. Das Argument ist der Wert selbst, mit dem wir die Funktion aufrufen. Der Parameter ist die ursprüngliche Variable, mit der die Funktion definiert ist. Das ist eher ein technisches Detail.

Ein weiterer Begriff ist der Funktionswert, also der Wert, den die Funktion als Ausgabe zurückgibt. Die vorherige Funktion hat beim Aufruf mit der Zahl drei die Zahl sechs zurückgegeben. Die Zahl sechs ist in diesem Fall also der Funktionswert. Ausformuliert würden wir sagen: „Die Funktion f hat an der Stelle drei den Funktionswert sechs.“ Unter dem Begriff „Stelle“ versteht man in diesem Zusammenhang üblicherweise das Argument der Funktion.

Funktionen in der üblichen Mathematik

In der üblichen Mathematik kommt eine Menge Funktionen vor, die eine ganz besondere Schreibweise haben, sodass es gar nicht so aussieht, als handelte es sich um Funktionen. Zum Beispiel ist der Betrag nichts anderes als eine Funktion. Als Eingabe nimmt er eine Zahl und gibt als Ausgabe entweder dieselbe Zahl oder die Zahl mit dem umgekehrten Vorzeichen zurück.

Du erkennst bestimmt das Symbol für die Wurzel: $\sqrt{}$. Auch das ist eine Funktion. Als Eingabe nimmt sie ein Argument und gibt als Ausgabe die Quadratwurzel zurück. Ähnlich ist auch die zweite Potenz x² eine Funktion. Als Eingabe nimmt sie eine Zahl und gibt als Ausgabe das Quadrat dieser Zahl zurück.

Es ist ziemlich wichtig zu begreifen, dass die meisten solcher magischen Symbole in Wirklichkeit nichts Komplizierteres sind als irgendeine gewöhnliche Funktion. Betrachte das Symbol $\sqrt{}$ nicht als seltsames gebogenes Gebilde, sondern als Funktion.

Denn gerade für Anfänger kann ein Term verwirrend sein, der eine Menge mathematischer Symbole enthält, mit denen der arme Anfänger zur Hälfte nichts anzufangen weiß, und dabei handelt es sich einfach um ein paar verkettete Funktionen. Nehmen wir als Hilfe dieses Beispiel:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Wenn ein mathematischer Laie das sieht, kratzt er sich am Kopf und hat kaum eine Ahnung, was er damit machen soll. Dabei sind in dem Term insgesamt vier ziemlich einfache Funktionen enthalten, die nacheinander auf die Variable x angewendet werden. Man könnte es mithilfe benannter und ineinander verschachtelter Funktionen so aufschreiben:

$$\text{Fakultät}(\text{Wurzel}(\text{Betrag}(\text{Quadrat}(x))))$$

Die Schreibweise ist länger, aber für jemanden, der sich mit den Symbolen nicht auskennt, wohl übersichtlicher. Außerdem ist die Reihenfolge, in der die Funktionen nacheinander aufgerufen werden, völlig klar.

Zusammenfassung der Funktionsschreibweise

Eine Funktion hat einen Namen, das kann im Prinzip alles Mögliche sein. Am häufigsten wird eine allgemeine Funktion f genannt. Jede Funktion hat eine bestimmte Anzahl von Parametern, die wir in runde Klammern hinter den Namen schreiben. Hätte unsere Funktion f zwei Parameter, würden wir sie so aufschreiben: f(x, y) oder f(a, b). Auf die Benennung der Parameter kommt es im Allgemeinen nicht an.

Einige häufig verwendete Funktionen haben ihr eigenes Symbol, zum Beispiel hat die Wurzel das Symbol $\sqrt{}$. Weiter ist sin oder sin(x) die Funktion Sinus, |x| ist die Funktion Betrag und x! ist die Funktion Fakultät.

Hat eine Funktion einen Parameter, lassen wir manchmal die Klammern weg, was die Schreibweise manchmal übersichtlicher macht und manchmal nicht. sin(x) und sin x sind also beide gültige Schreibweisen der Sinusfunktion.

Wenn man vom Parameter der Funktion spricht, meint man den Buchstaben x in der Schreibweise f(x). Das Argument ist dann der Wert, mit dem wir die Funktion aufrufen und den wir für x einsetzen. Oft verschwimmen diese beiden Begriffe. Der Funktionswert ist der Wert, den wir nach dem Aufruf der Funktion erhalten. Wir schreiben ihn einfach als Namen der Funktion, Klammern und Argument. Haben wir die Funktion f(x) = 2x und setzen für den Parameter x das Argument x = 4 ein, dann sagen wir, dass wir die Funktion mit dem Argument x = 4 aufgerufen haben und der resultierende Funktionswert f(4) gleich acht ist.