Área del cono

El área del cono nos dice, dicho de forma sencilla, cuánto papel o chapa necesitamos para fabricar un cono entero o para forrarlo. No la confundas con el volumen del cono, que nos dice cuánta agua cabe dentro. El cono tiene dos partes: abajo, una base circular y, encima, la superficie lateral, que se estrecha hasta el vértice.

En la figura, el radio de la base r está en rojo, la altura h en azul y la generatriz del cono g en verde: es la distancia del vértice al borde de la base.

Fórmula del área del cono

Si buscas solo la fórmula, el área total A_T de un cono cuya base tiene radio r y cuya generatriz mide g se calcula como

$$A_T=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot g$$

El primer sumando es el área de la base y el segundo, el área de la superficie lateral. A veces la fórmula se escribe también sacando factor común π · r:

$$A_T=\pi \cdot r\cdot (r+g)$$

Tomemos un cono con radio de la base r = 3 y generatriz g = 5. Su área es

$$A_T=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Si quieres escribir el resultado como un número normal en lugar de con pi, sustituye pi por su valor aproximado 3,14:

$$A_T\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

¿Cómo hemos llegado a ella?

La base es un círculo corriente, así que su área la conocemos por la fórmula del área del círculo: π · r².

Con la superficie lateral la cosa es más interesante. Si la cortamos a lo largo de la generatriz y la extendemos sobre la mesa, obtenemos un sector circular de radio g. La figura muestra el desarrollo completo del cono: el sector rojo es la superficie lateral y el círculo azul, la base. En la figura animada, el desarrollo se pliega hasta formar el cono y vuelve a desplegarse.

El arco naranja del sector era, antes de cortar, el borde de la base, por eso mide lo mismo que la circunferencia naranja de abajo, es decir, la longitud de la circunferencia 2π r. La circunferencia completa de radio g mediría 2π g. El sector ocupa del círculo completo de radio g exactamente la misma fracción que el arco ocupa de la circunferencia entera:

$$\frac{2\pi r}{2\pi g}=\frac{r}{g}$$

En el cono del ejemplo anterior son tres quintos del círculo, igual que en la figura. El círculo completo tendría área π · g² y la superficie lateral se queda con la fracción $\frac{r}{g}$ de él:

$$A_L=\frac{r}{g}\cdot \pi \cdot g^2=\pi \cdot r\cdot g$$

Si a la superficie lateral le sumamos además la base, obtenemos la fórmula completa A_T = π · r² + π · r · g.

Ejemplo: un gorro de papel

Se acerca una fiesta y queremos hacer para ella un gorro de papel con forma de cono. Abajo tiene que tener un radio de 8 cm y la altura debe ser de 15 cm. ¿Cuánto papel necesitamos?

Sin embargo, la fórmula pide la generatriz g y no la altura. Ahora bien, la altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo, así que la generatriz la calculamos con el teorema de Pitágoras. Sustituimos r = 8 y h = 15:

$$g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Elevamos al cuadrado:

$$g=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Solo falta extraer la raíz:

$$g=17$$

Aquí nos espera una trampa: el gorro no tiene fondo. Quien usara la fórmula completa fabricaría un gorro con base, y eso es bastante incómodo de llevar puesto. Calculamos, pues, solo la superficie lateral:

$$A_L=\pi \cdot r\cdot g=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Sustituimos el valor aproximado de pi:

$$A_L\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Para el gorro necesitamos aproximadamente 427 centímetros cuadrados de papel, y un poco más para pegarlo.

Calculadora

Introduce el radio de la base y la generatriz; en cada campo puedes cambiar la unidad. La calculadora usa el valor exacto de pi, por eso obtiene un resultado algo mayor que 75,36.

Véase también

• Volumen del cono
• Sector circular
• Área del cilindro
• Área de la pirámide