Aire totale d’un cône

L’aire totale d’un cône nous dit, simplement, combien de papier ou de tôle il faut pour fabriquer ou recouvrir entièrement un cône. Ne la confonds pas avec le volume du cône, qui indique combien d’eau peut tenir dans le cône. Le cône a deux parties : en bas une base en forme de disque et, au-dessus, une surface latérale qui se resserre jusqu’au sommet.

Le rayon de la base r est en rouge sur la figure, la hauteur h en bleu et la génératrice du cône g en vert : elle mesure la distance du sommet au bord de la base.

Formule de l’aire totale d’un cône

Si tu cherches seulement la formule, l’aire totale $\mathcal{A}$ d’un cône dont la base a pour rayon r et dont la génératrice mesure g se calcule ainsi :

$$\mathcal{A}=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot g$$

Le premier terme est l’aire de la base, le second l’aire latérale. On écrit parfois aussi la formule en factorisant π · r :

$$\mathcal{A}=\pi \cdot r\cdot (r+g)$$

Prenons un cône de rayon de base r = 3 et de génératrice g = 5. Son aire totale est

$$\mathcal{A}=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Si tu veux écrire le résultat avec un nombre ordinaire plutôt qu’avec π, remplace π par la valeur approchée 3,14 :

$$\mathcal{A}\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Comment a-t-on trouvé cette formule ?

La base est un simple disque, son aire est donc connue grâce à la formule de l’aire d’un disque : π · r².

Pour la surface latérale, c’est plus intéressant. Si on la découpe le long d’une génératrice et qu’on la pose à plat sur la table, on obtient un secteur circulaire de rayon g. La figure montre le patron complet du cône : le secteur rouge est la surface latérale, le disque bleu est la base. Dans la figure, le patron se plie en cône puis se déplie.

L’arc orange du secteur formait, avant le découpage, le bord de la base. Il est donc aussi long que le cercle orange du bas, c’est-à-dire le périmètre du cercle 2π r. Le cercle entier de rayon g mesurerait 2π g. Le secteur représente, dans le disque entier de rayon g, exactement la même fraction que l’arc dans le cercle entier :

$$\frac{2\pi r}{2\pi g}=\frac{r}{g}$$

Pour le cône de l’exemple précédent, ce sont les trois cinquièmes du disque, comme sur la figure. Le disque entier aurait pour aire π · g², la surface latérale en prend la fraction $\frac{r}{g}$ :

$${\mathcal{A}}_{\text{latérale}}=\frac{r}{g}\cdot \pi \cdot g^2=\pi \cdot r\cdot g$$

En ajoutant la base à la surface latérale, on obtient la formule complète $\mathcal{A}=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot g$.

Exemple : un chapeau de fête en papier

On prépare une fête et on veut fabriquer un chapeau en papier en forme de cône. En bas, il doit avoir un rayon de 8 cm, et sa hauteur doit être de 15 cm. Combien de papier va-t-on utiliser ?

Seulement, la formule demande la génératrice g et non la hauteur. Mais la hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle, donc on calcule la génératrice avec le théorème de Pythagore. On remplace r = 8 et h = 15 :

$$g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

On calcule les carrés :

$$g=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Il reste à prendre la racine carrée :

$$g=17$$

Attention, piège : le chapeau n’a pas de fond. Celui qui utiliserait la formule complète fabriquerait un chapeau avec une base, et ça se porte plutôt mal. On calcule donc seulement la surface latérale :

$${\mathcal{A}}_{\text{latérale}}=\pi \cdot r\cdot g=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

On remplace π par une valeur approchée :

$${\mathcal{A}}_{\text{latérale}}\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Pour le chapeau, il faut environ 427 centimètres carrés de papier, plus un petit supplément pour le collage.

Calculatrice

Saisis le rayon de la base et la génératrice ; tu peux changer l’unité de chaque champ. La calculatrice utilise la valeur exacte de π, elle trouve donc un peu plus que 75,36.

Voir aussi

• Volume d’un cône
• Secteur circulaire
• Aire totale d’un cylindre
• Aire totale d’une pyramide