Aire du losange

Un losange ressemble à un carré : c’est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur, mais, contrairement au carré, ses côtés ne forment pas d’angle droit. Voyons à quoi ressemble un tel losange :

Nous voyons que c’est un carré un peu écrasé.

Formule pour l’aire du losange

L’aire d’un losange dont les diagonales ont pour longueurs D et d est égale à

$$\mathcal{A}=\frac{D\cdot d}{2}$$

Calculatrice

Comment y sommes-nous arrivés ?

On peut remarquer que les diagonales D et d (les segments en pointillés) partagent le losange en quatre triangles :

Ces triangles sont égaux, ils sont seulement orientés différemment. Nous pouvons donc prendre les deux triangles du haut, les faire pivoter et les déplacer vers le bas. Nous obtenons un rectangle :

Ce rectangle a la même aire que notre losange : il est composé des quatre mêmes triangles, que nous avons simplement réarrangés. Il suffit donc de calculer l’aire de ce rectangle pour obtenir celle du losange. Or nous savons que l’aire du rectangle est le produit des longueurs de ses deux côtés, le plus court et le plus long. Dans notre cas, l’aire du rectangle est égale à

$${\mathcal{A}}_{◻}=AC\cdot A{B}_1$$

La longueur du côté [AC] est égale à la longueur de la diagonale horizontale D de la figure d’origine. La longueur du segment [AB₁] est la même que celle du segment [OD], et la longueur de [OD] est égale à la moitié de la diagonale verticale d, puisque les diagonales se coupent en leur milieu. Remplaçons dans la formule :

$${\mathcal{A}}_{◻}=D\cdot \frac{d}{2}=\frac{D\cdot d}{2}$$

Si les diagonales de notre losange mesurent D = 7 et d = 4, l’aire de ce losange est alors égale à

$$\mathcal{A}=\frac{7\cdot 4}{2}=\frac{28}{2}=14$$

Comme le losange est aussi un parallélogramme, on peut également calculer son aire avec la formule de l’aire du parallélogramme, mais il faut alors connaître la longueur d’un côté et la hauteur du losange.