Elsőfokú egyenlőtlenségek

Az elsőfokú egyenlőtlenségeket hasonló átalakításokkal oldjuk meg, mint amikor közönséges elsőfokú egyenletet számolsz. Az elsőfokú egyenlőtlenség rendszerint ilyen alakú: ax + b>0 (illetve „kisebb”, „nagyobb vagy egyenlő” vagy „kisebb vagy egyenlő” relációs jellel). Most már csak az egyenlőtlenséget kell a következő alakra hozni, és kész az eredmény: x>−b/a. Természetesen feltételezzük, hogy a>0. Negatív a esetén az osztáskor megfordulna a relációs jel, és x<−b/a jönne ki.

Közönséges elsőfokú egyenlőtlenség

Az elsőfokú egyenlőtlenséget megoldhatjuk az egyenlőtlenségek ekvivalens átalakításaival.

• Egy egyszerű példa így nézhet ki:

  $$3x+9>3$$

  Először átvisszük az ismeretlen nélküli kifejezéseket a jobb oldalra. Az egyenlőtlenséghez tehát hozzáadjuk a −9 számot, így ezt az egyenlőtlenséget kapjuk:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Ezután az egész egyenlőtlenséget elosztjuk hárommal:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Ez az egész egyenlőtlenség megoldása. Az egyenlőtlenség minden x > −2 esetén teljesül.

  Az egyenlőtlenséget grafikusan is megoldhatnánk. Ha adott a 3x + 9 > 3 egyenlőtlenség, lerajzoljuk két függvény – az egyenlőtlenség bal és jobb oldalának – grafikonját. Az f(x) = 3x + 9 és a g(x) = 3 függvényt kapjuk. A grafikonjaik így néznek ki:

  

  Látjuk, hogy ezek a grafikonok egyetlen pontban metszik egymást, az x₁ pontban, amelynek x koordinátája éppen −2. Azt is látjuk, hogy minden x > x₁ esetén, vagyis minden, a ]−2; +∞[ intervallumba tartozó x esetén a piros 3x + 9 függvény „felette” van a kék 3 függvénynek (itt a „felette” azt jelenti: „nagyobb az y koordinátája”). Ez egybevág az eredménnyel, amelyet az előbb kiszámítottunk.

• Ha sok benne a mínusz, néha hasznos az egész egyenlőtlenséget megszorozni mínusz eggyel. Ilyenkor nemcsak az egyenlőtlenség tagjait kell megszorozni, hanem a relációs jelet is meg kell fordítani – a „nagyobb mint” jelből „kisebb mint” lesz, és fordítva:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Ez természetesen mindig érvényes, amikor az egész egyenlőtlenséget megszorozzuk bármilyen negatív számmal. Nézzünk tehát még egy gyors példát:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  Az első lépésben simán hozzáadjuk az egyenlőtlenséghez a −2x kifejezést, vagyis az összes változós kifejezést átvisszük a bal oldalra. Ugyanakkor kivonunk nyolcat, így a konstansok a jobb oldalra kerülnek. Aztán már csak megszorozzuk az egész egyenlőtlenséget a $-\frac{1}{5}$ számmal.

  Szemléltetésként nézd meg az egyenlőtlenség grafikus megoldását, ahol két függvényt rajzolunk be: f(x) = −3x + 8 és g(x) = 2x − 7.

  

  Látjuk, hogy a −3x + 8 függvény piros grafikonja mindig a 2x − 7 függvény kék grafikonja alatt van, ha x > 3.

Ismeretlen a nevezőben

Az olyan elsőfokú egyenlőtlenséget, amely törteket tartalmaz ismeretlennel a nevezőben, egy kicsit bonyolultabban oldjuk meg. Példa erre a következő egyenlőtlenség:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Az egyenlőtlenséget nem szorozhatjuk meg a nevezőben álló ismeretlennel, mert nem ismerjük az előjelét. Ha ugyanis a változó értéke negatív volna, meg kellene fordítanunk a relációs jelet. Ezért nem engedhetjük meg magunknak, hogy az egyenlőtlenséget csak úgy megszorozzuk a nevezőben álló változóval. Ez nem lenne az egyenlőtlenségek ekvivalens átalakítása.

Az egyenlőtlenséget úgy kezdjük átalakítani, hogy a bal oldalon egyetlen tört, a jobb oldalon nulla legyen. Először tehát hozzáadjuk az egyenlőtlenséghez a −4 számot, így ezt az alakot kapjuk:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Most a bal oldalon álló kifejezést egyetlen törtté kell alakítanunk. A −1 számot tehát megszorozzuk az $\frac{x}{x}$ törttel, így mindkét kifejezést közös nevezőre hozzuk, aztán már csak összeadjuk a törteket:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Most az a kérdés – mikor pozitív a tört? A tört pozitív, ha a számláló és a nevező is pozitív, vagy ha a számláló és a nevező is negatív. Ha az egyik pozitív, a másik negatív, akkor a tört negatív. Ha például a $\frac{4}{3}$ törtünk van, akkor az egész tört pozitív számot jelent. Ha a $\frac{-3}{4}$ törtünk van, akkor a tört negatív számot jelent. A $\frac{-3}{-4}$ tört ismét pozitív számot jelent, mert a mínuszok kiesnek. Általánosan felírhatjuk:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{pozitív}}{\text{pozitív}}& =& \text{pozitív}\\ \frac{\text{pozitív}}{\text{negatív}}& =& \text{negatív}\\ \frac{\text{negatív}}{\text{pozitív}}& =& \text{negatív}\\ \frac{\text{negatív}}{\text{negatív}}& =& \text{pozitív}\end{array}$$

Két egyenlőtlenségrendszert kell tehát megoldanunk. Kezdjük azzal, hogy megkeressük, mikor pozitív a számláló és a nevező is:

1. Ahhoz, hogy a számláló és a nevező is pozitív legyen, a következő két egyenlőtlenségnek egyszerre kell teljesülnie:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Az első egyenlőtlenségnél csak átvisszük a 2-t a másik oldalra, és megszorozzuk −1-gyel:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Megvan az első egyenlőtlenség megoldása. A második egyenlőtlenséggel, az x > 0 egyenlőtlenséggel nincs mit tovább csinálni. Most ezeknek a megoldásoknak a metszetét kell vennünk, mert azok az esetek érdekelnek minket, amikor mindkét megoldás egyszerre teljesül, vagyis amikor a számláló pozitív, és ugyanakkor a nevező is pozitív. Az első megoldást felírhatjuk intervallumként: ]−∞; 2[, a második megoldást is felírhatjuk intervallumként: ]0; +∞[. Most vesszük ezeknek az intervallumoknak a metszetét:

   $$]-\mathrm{\infty };2[\cap ]0;+\mathrm{\infty }[=]0;2[$$

   Ez a megoldás egyik része. Ha az ebből az intervallumból való számokat behelyettesítjük, az egyenlőtlenség teljesül. Például ha x helyére az x = 1 számot írjuk, amely a ]0; 2[ intervallumba tartozik, a $\frac{2}{1}+3>4$ egyenlőtlenséget kapjuk, ami ugyanaz, mint 5 > 4. Most már csak azt az esetet kell megvizsgálnunk, amikor a számláló és a nevező is negatív.

2. Abban az esetben, ha a számlálónak és a nevezőnek is negatívnak kell lennie, a következő egyenlőtlenségeket oldjuk meg:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Ismét gyorsan megoldjuk a 2 − x < 0 egyenlőtlenséget:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   A második megoldás ismét egyszerűen x < 0. Felírjuk intervallumokkal: ]2; +∞[ és ]−∞; 0[, és vesszük a metszetüket:

   $$]2;+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };0[=\varnothing$$

   Üres halmazt kaptunk. Mit jelent ez? Azt, hogy a $\frac{2-x}{x}$ törtnek soha nem lehet negatív a számlálója és egyszerre negatív a nevezője.

Az előző két eredményt már csak egyesítjük, és megkapjuk a végső S halmazt:

$$S=]0;2[\cup \varnothing =]0;2[$$

A $\frac{2}{x}+3>4$ egyenlőtlenségnek a ]0; 2[ intervallumból való minden x megoldása. Lerajzolhatunk egy grafikont, amelyen ábrázoljuk az $f(x)=\frac{2}{x}+3$ és a g(x) = 4 függvényt:

Látjuk, hogy az $f(x)=\frac{2}{x}+3$ függvény piros grafikonja a g(x) = 4 függvény kék grafikonja felett van pontosan a ]0; 2[ intervallumban.

Abszolút értékes elsőfokú egyenlőtlenség

Egy kicsit nagyobb móka az abszolút értéket tartalmazó egyenlőtlenségekkel van. Külön kell ugyanis számolnunk azt az esetet, amikor az abszolút értékben álló kifejezés pozitív, és így az előjel nem változik, és azt, amikor a kifejezés negatív, és az előjel megváltozik – lényegében két egyenlőtlenség keletkezik egyben. Nézzünk tehát egy egyszerű példát:

$$|x+5|<12$$

Mindenekelőtt meg kell határoznunk a zérushelyet, vagyis azt a számot, amelyet behelyettesítve az abszolút értékben álló egész kifejezés nulla lesz, és amely arra szolgál, hogy meghatározzuk azokat az intervallumokat, amelyekben az előjel változik, és amelyekben nem. Először tehát az

$$x+5=0$$

egyenletet oldjuk meg. Látjuk, hogy az eredmény x = −5. Ez az eredmény két intervallumra osztja az x értékeit. Az egyikben az x + 5 függvény pozitív értékeket vesz fel, a másikban negatívakat. Tehát a ]−∞; −5[ intervallumban negatív számokat kapunk, a [−5; +∞[ intervallumban pedig pozitívakat, illetve nemnegatívakat. Szemléltetésként az első sorban az első intervallumból való szám van, a második sorban a második intervallumból való:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Mit mond ez nekünk? Azt, hogy ha x helyére mínusz ötnél nagyobb értéket helyettesítünk, akkor az abszolút érték nem változtatja meg az eredményt, mert az x + 5 pozitív szám lesz. Ha viszont az x értéke kisebb mínusz ötnél, akkor az x + 5 eredménye negatív lesz, és az abszolút érték pozitívvá változtatja. Ezért az egyenlőtlenségben meg kell különböztetnünk ezt a két esetet.

Először tehát kiszámítjuk az eredményt arra az esetre, ha az x-et a [−5; +∞[ intervallumból vesszük. Ilyenkor az előjel nem változik, hiszen csak elhagyjuk az abszolút értéket.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ]-\mathrm{\infty };7[\end{array}$$

Majdnem megvan az első megoldás. Még ugyanis metszetet kell képeznünk azzal az intervallummal, amelyből az x-et éppen választjuk. A [−5; +∞[ intervallumban mozgunk, ezért ennek az elsőfokú egyenlőtlenségnek az eredménye nem lehet például x = −15, mert az nem tartozik az intervallumunkba. Metszetet kell tehát képeznünk:

$$[-5;+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };7[=[-5;7[$$

Ez az első eredmény. Most ki kell számítanunk az eredményt arra az esetre, ha az x-et a ]−∞; −5[ intervallumból vesszük. Ebben az intervallumban az abszolút érték megváltoztatja az előjelet. Ha az egyenlőtlenségből el akarjuk hagyni az abszolút értéket, az előjelváltást magunknak kell elvégeznünk, vagyis az abszolút érték alatti kifejezést megszorozzuk a −1 számmal, így megváltoztatjuk a kifejezés előjelét. Ezt tehát így írjuk át:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Az egyenlőtlenséghez hozzáadunk 5-öt:

$$-x<17$$

És megszorozzuk −1-gyel:

$$x>-17$$

Ezt az eredményt kapjuk:

$$x\in ]-17;+\mathrm{\infty }[$$

De mint az előbb, az x értékét a ]−∞; −5[ intervallumból választjuk, ezért ennek az intervallumnak és az eredményünknek még képeznünk kell a metszetét:

$$]-17;+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };-5[=]-17;-5[$$

Most már megvan mindkét eredmény, amelyeket csak egyesítünk:

$$x\in [-5;7[\cup ]-17;-5[=]-17;7[$$

Ellenőrzésként megnézhetjük ezeknek a függvényeknek a grafikonját:

Még néhány szó arról, mikor használjunk zárt és mikor nyílt intervallumot. Ha szigorú egyenlőtlenségünk van, vagyis x>0, nyílt intervallumot használunk, mert az x nem lehet egyenlő nullával. Ha nincs szigorú egyenlőtlenségünk, x ≥ 0, akkor zárt intervallumot használunk, mert az x egyenlő lehet nullával. Például ha az egyenlőtlenségbe, amelyet az imént megoldottunk, behelyettesítjük az x = 7 értéket, amely „éppen” nem tartozik az egyenlőtlenség megoldásába, ezt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Az egyenlőtlenség nem teljesül, a 12 nem kisebb 12-nél.