Intervallum

Az intervallumokat a matematikában gyakran használjuk, és sok definícióban szerepelnek. Az intervallum olyan pontok halmaza, amelyet két végpont határol. Megkülönböztetünk nyílt és zárt intervallumokat.

Alapvető leírás

Intervallumokat a mindennapi beszédben is használunk, például: „a szemed helytelen színéért az Európai Uniótól tízezer és húszezer forint közötti bírságot kaphatsz”. A példában a „között” szót használtuk, de matematikailag ez egy intervallum. Most viszont alattomos kérdések jönnek: kaphatsz pontosan tízezer forintos bírságot, vagy a határérték nem számít bele? Milyen finoman szabhatják ki a bírságot? Kaphatok 18 541 forintos bírságot? Vagy például csak százasával lehet lépni? Vagyis vagy 18 500, vagy 18 600?

Mindezt a matematikai jelölés oldja meg. Ennek során két lényeges dolgot kell megmondanunk: melyik halmazban mozgunk (a példa összefüggésében – százasokban? Ezresekben? Egész forintokban?), és hogy az intervallumhoz tartoznak-e a végpontok is (kaphatok pontosan tízezer vagy húszezer forintos bírságot?).

A jó hír az, hogy a matematikában a legtöbb esetben azt szeretnénk, hogy az intervallum a valós számok halmazával dolgozzon, tehát ha halmaz megadása nélküli intervallumot látsz, az biztosan valós számokról szól.

A kiinduló halmaz megvan, most hogyan jelöljük, hogy figyelembe vesszük-e a végpontokat? Az intervallumokat zárójelekkel írjuk. Ha a szögletes zárójel befelé, az intervallum felé fordul, az adott végpont az intervallumhoz tartozik, ha kifelé fordul, a végpont nem tartozik hozzá. Ezt nevezzük nyíltságnak és zártságnak. Ha a végpont az intervallumhoz tartozik, az intervallum zárt, ha nem tartozik hozzá, nyílt.

Példák

Következnek a példák (mind a valós számok halmazán, ha nincs másképp mondva):

• [1; 2]   Zárt intervallum egytől kettőig. Az intervallumba tartozik az egy és a kettő közötti összes valós szám, az egyet és a kettőt is beleértve.
• ]1; 2[   Nyílt intervallum egytől kettőig. Az intervallumba tartozik az egy és a kettő közötti összes valós szám, de maga az egy és a kettő nem tartozik bele.
• [0; 1[   Az intervallum balról zárt és jobbról nyílt. Az intervallumba tartozik a nulla és az egy közötti összes szám, magát a nullát is beleértve, de az egy nem tartozik az intervallumba.
• ]p; q]   Az intervallum balról nyílt és jobbról zárt. Az intervallumba tartozik a p és a q szám közötti összes szám, beleértve a q számot, de kivéve a p számot.
• [0; +∞[   Balról zárt és jobbról nyílt intervallum. Ha az intervallumban végtelen szerepel, az adott oldalon nyílt intervallumot használj: a végtelennek nincs véges végpontja, zárt intervallumnak itt nincs értelme.
• [1; 5] ⊂ ℕ   Itt változás következik: nem a valós számok halmazával dolgozunk, hanem a természetes számok halmazával. Mindkét oldalról zárt intervallumunk van, és az intervallumban összesen öt szám található: 1, 2, 3, 4 és 5.
• ]1; 5] ⊂ ℕ   Ugyanaz az eset, mint az előbb, csak az intervallum balról nyílt, ezért az egy nem tartozik az intervallumba, és az intervallum összes elemének felsorolása: 2, 3, 4 és 5.

Az intervallum mint halmaz

Mint látható, az intervallum nem más, mint annak a halmaznak a részhalmaza, amelyen értelmezzük. Ezért az intervallumokkal úgy dolgozhatunk, mint a halmazokkal, és végezhetünk velük halmazműveleteket. Például az unió így nézhet ki:

$$[0;5]\cup [5;10]=[0;10]$$

Vigyázz a nyílt intervallumokkal, ott ugyanis az egyenlőség nem állna fenn, mert az öt nem tartozik a kapott intervallumba:

$$]0;5[\cup ]5;10[\ne ]0;10[$$

Helyesen például így nézhetne ki:

$$]0;5[\cup ]5;10[=]0;10[-\{5\}$$

Mikor használjunk nyílt intervallumot

A nyílt és a zárt intervallum közötti különbséget meg kell értened. A nyílt intervallum gyakori felhasználása például a logaritmus értelmezési tartománya. A logaritmust bármilyen pozitív valós számmal használhatjuk, ami azt jelenti, hogy negatív számmal nem hívhatjuk meg, de nullával sem. Hogyan írjuk ezt le?

$$D_{\ln }=]0;+\mathrm{\infty }[$$

Ez a jelölés azt mondja, hogy a logaritmust tetszőlegesen kicsi pozitív számmal meghívhatjuk, de nullával nem. Tehát például az 1 szám beleesik az intervallumba, a 0,001 is, ugyanígy a 0,0000000001 vagy a 10⁻⁶⁶⁶. De a nulla már nem esik bele az intervallumba. Hasonlóan írhatnánk le a törtes függvény értelmezési tartományát, például az egyszerű f(x) = 1/x függvényét.

$$D_f=]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;+\mathrm{\infty }[$$

Ez a nulla nélküli valós számok halmazát jelöli ki. Egyik intervallumban sincs a nulla zárt intervallum helyén, ezért az eredményül kapott unióban sem lesz a nulla. Mindazonáltal használhatunk tetszőlegesen kicsi pozitív számot vagy tetszőlegesen nagy negatív számot (a negatív számoknál az érvényes, hogy a –0,001 nagyobb, mint a –0,1, ezért tetszőlegesen nagy számot mondunk, és nem tetszőlegesen kicsit).

Geometriai szemléltetés

Az intervallumokat általában a számegyenesen ábrázoljuk szakaszként, a végpontokat aszerint választjuk meg, hogy az intervallum zárt vagy nyílt. Ha az intervallum zárt, a végpontot jelölő karika ki van töltve, ha nyílt, nincs kitöltve, csak a körvonala látszik, csak egy kör.

A következő ábra három intervallumot mutat be, mindig kettőtől hatig, de a végpontok zártságában különböznek. Sorban tehát ezek az intervallumok láthatók: [2; 6], ]2; 6], ]2; 6[.