Aturan L'Hôpital

Aturan L'Hôpital (dibaca: lopital) kadang-kadang dapat dipakai untuk menghitung limit berbentuk hasil bagi.

Definisi

Ketika menghitung limit fungsi di suatu titik, dalam keadaan tertentu kita dapat memanfaatkan turunan. Misalkan diberikan fungsi berbentuk hasil bagi, yaitu fungsi f(x) dan g(x), dan kita mencari limit

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Jika $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, kedua fungsi mempunyai turunan pada suatu persekitaran titik x₀ (di titik x₀ sendiri tidak harus), dan limit

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

ada, maka berlaku hubungan

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Jika limit $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ tidak ada, belum tentu limit $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ juga tidak ada. Jika limit dengan turunan tidak ada, limit semula (tanpa turunan) harus dihitung dengan cara lain.

Contoh soal

1. Hitunglah limit

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Apakah soal ini dapat diselesaikan dengan aturan L'Hôpital? Pertama, kita harus memeriksa apakah limit kedua fungsi (fungsi pada penyebut pecahan dan fungsi pada pembilangnya) di titik x₀ = 3 sama dengan nol. Misalkan f(x) = x² − 9 dan g(x) = x² − x − 6. Keduanya polinomial, sehingga kontinu, dan limitnya sama dengan nilai fungsinya:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Syarat pertama terpenuhi. Perhatikan bahwa limit ini tidak dapat dihitung hanya dengan menyubstitusikan 3 untuk x, karena seluruh fungsi tidak kontinu di titik x₀ = 3, bahkan sama sekali tidak mempunyai nilai fungsi di sana (untuk memperoleh nilainya, kita harus membagi dengan nol). Sekarang kita dapat mencoba aturan L'Hôpital dan menurunkan kedua fungsi. Perhatikan: kita tidak memakai rumus turunan hasil bagi, tetapi menurunkan fungsi pada pembilang dan fungsi pada penyebut secara terpisah. Diperoleh:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Jadi, sebagai ganti limit semula, kita dapat menyelesaikan limit berikut:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Fungsi ini kontinu di titik x₀ = 3, sehingga kita cukup menyubstitusikan 3 untuk x dan menghitung nilai fungsinya:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Limit fungsi ini ada, sehingga limit $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ juga ada dan kedua limit tersebut sama. Jadi,

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Hitunglah limit

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Bagaimana keadaannya di titik x₀ = 0? Sekali lagi kita misalkan f(x) = x dan g(x) = sin x. Berlaku f(0) = 0 dan g(0) = 0. Diperoleh hasil bagi $\frac{0}{0}$, dan fungsinya tidak kontinu di titik tersebut. Kita dapat mencoba aturan L'Hôpital. Kita turunkan kedua fungsi:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Setelah turunan kedua fungsi diperoleh, kita coba hitung limit

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Bagaimana keadaannya di titik x₀ = 0? Karena cos(0) = 1, diperoleh pecahan $\frac{1}{1}=1$. Fungsi ini kontinu di titik x₀ = 0, sehingga

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Karena limit ini ada, limit $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ juga ada dan kedua limit tersebut sama. Diperoleh

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$