Limit berhingga di tak hingga

Limit fungsi adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Limit menggambarkan perilaku suatu fungsi di sekitar titik tertentu. Berkat limit, kita dapat, misalnya, mendefinisikan kekontinuan fungsi. Limit fungsi juga membantu kita memahami perilaku fungsi di titik-titik tempat fungsi itu sama sekali tidak terdefinisi.

Limit berhingga di tak hingga

Situasi ini mirip dengan limit barisan. Kita mencari limit fungsi di tak hingga. Limitnya bisa berhingga, bisa juga tak hingga. Kita mulai dengan limit berhingga.

Misalkan ∞ adalah titik limit daerah asal fungsi f. Bilangan L ∈ ℝ adalah limit fungsi di ∞ jika

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

dan limit di −∞ jika

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Apa arti definisi ini? Jika kita memilih persekitaran-ϵ di sekitar limit L yang kita duga (yaitu pada sumbu y), kita selalu dapat menemukan titik A pada sumbu x sehingga untuk setiap titik x di sebelah kanan A, yaitu x>A, berlaku |f(x) − L| < ϵ. Artinya, semua nilai fungsi berjarak kurang dari ϵ dari limit L.

Ambil fungsi f(x) = (2/x) + 1. Grafiknya:

Terlihat bahwa jika x menuju tak hingga, nilai fungsi f(x) mendekati 1. Jadi, kita pilih L = 1. Sekarang kita buktikan bahwa L = 1 memang limit fungsi ini di plus tak hingga. Pertama, kita coba dulu. Kita pilih suatu epsilon, misalnya $ϵ=\frac{1}{2}$. Sekarang kita cari A ∈ ℝ sehingga untuk semua x yang lebih besar daripada A, nilai fungsinya berjarak kurang dari ϵ dari L. Kita gambarkan pada grafik:

Nilai fungsi f(x) berjarak kurang dari ϵ dari titik L berarti kurva grafik fungsi terletak di antara kedua garis merah. Sekarang kita harus menemukan batas A pada sumbu x yang mulai dari situ syarat ini terpenuhi. Batas itu tidak harus yang terkecil, sehingga kita bisa memilih, misalnya, A = 6.

Terlihat bahwa setelah batas A, seluruh kurva grafik terletak di antara garis-garis merah yang menandai jarak ϵ dari L. Sejauh ini kita baru membuktikannya untuk satu ϵ tertentu. Untuk membuktikan bahwa L = 1 benar-benar limitnya, kita harus dapat membuktikannya untuk semua ϵ > 0.

Sekarang kita harus menentukan nilai A yang memenuhi hubungan berikut:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Setelah substitusi:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Angka 1 saling menghapus:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Selanjutnya kita boleh menganggap bahwa kita hanya mengambil x positif (kita tertarik pada nilai x yang menuju plus tak hingga), sehingga nilai mutlaknya dapat dihilangkan:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Kalikan dengan x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Bagi dengan ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Dari langkah-langkah ini kita ketahui bahwa x harus lebih besar daripada 2/ϵ. Jadi, jika untuk A kita pilih bilangan yang lebih besar daripada 2/ϵ, kita memperoleh batas yang kita cari.

Pada percobaan sebelumnya kita memilih $ϵ=\frac{1}{2}$, sehingga untuk A kita harus memilih bilangan yang lebih besar daripada $2/\frac{1}{2}=4$. Kita memilih A = 6, dan pilihan itu sudah tepat.