Правило на Лопитал

Правилото на Лопитал (на френски L'Hospital) понякога може да се използва за пресмятане на граници от вида частно.

Определение

Когато пресмятаме граница на функция в точка, при определени условия можем да си помогнем с производни. Нека имаме функция от вида частно, т.е. имаме функции f(x) и g(x) и търсим границата

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Ако е изпълнено $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, двете функции имат производна в някоя околност на точката x₀ (в самата точка x₀ не е нужно да я имат) и съществува границата

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

то е изпълнено равенството:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Ако границата $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ не съществува, това не означава, че не съществува и границата $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$. Ако не съществува границата с производните, трябва да пресметнем първоначалната граница без производни по друг начин.

Пример

1. Пресметни границата

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Можем ли да решим този пример с правилото на Лопитал? Първо трябва да проверим дали границата на двете функции (тази в знаменателя на дробта и тази в числителя) в точката x₀ = 3 е равна на нула. Означаваме функциите f(x) = x² − 9 и g(x) = x² − x − 6. И двете са многочлени, значи са непрекъснати, така че границите им са равни на стойностите на функциите:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Първото условие е изпълнено. Забележи, че не можем да пресметнем границата просто като заместим x с числото три, защото цялата функция в точката x₀ = 3 е прекъсната, т.е. там изобщо няма стойност (няма я, защото за да я получим, трябва да делим на нула). Сега можем да опитаме да приложим правилото на Лопитал и да диференцираме двете функции. Внимавай, не диференцираме по формулата за частно, а диференцираме отделно функцията в числителя и отделно функцията в знаменателя. Получаваме:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Вместо предишната граница можем да решим тази граница:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Тази функция е непрекъсната в точката x₀ = 3, така че можем просто да заместим x със стойността три и да пресметнем стойността на цялата функция:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Виждаме, че границата на тази функция съществува, затова съществува и границата $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ и тези граници са равни. Следователно:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Пресметни границата

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Как стои въпросът в точката x₀ = 0? Отново означаваме f(x) = x и g(x) = sin x. Изпълнено е f(0) = 0 и g(0) = 0. Получаваме частно $\frac{0}{0}$, функцията в дадената точка е прекъсната. Можем да опитаме да приложим правилото на Лопитал. Диференцираме двете функции:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Имаме производните на функциите и опитваме да пресметнем границата

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Какво се случва в точката x₀ = 0? Тъй като cos(0) = 1, получаваме дробта $\frac{1}{1}=1$. Функцията е непрекъсната в точката x₀ = 0, така че

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Тъй като тази граница съществува, съществува и границата $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ и тези граници са равни. Получаваме

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$