로피탈의 정리

로피탈의 정리는 몫 꼴의 극한을 구할 때 쓸 수 있는 경우가 있다.

정의

점에서의 함수의 극한을 구할 때, 어떤 조건에서는 미분의 도움을 받을 수 있다. 몫 꼴의 함수, 즉 함수 f(x)와 g(x)가 있고 다음 극한을 구한다고 하자.

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$이고, 두 함수가 점 x₀의 어떤 근방에서 미분가능하며(점 x₀ 자체에서는 미분가능하지 않아도 된다) 다음 극한이 존재하면

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

다음 관계가 성립한다.

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

극한 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$가 존재하지 않는다고 해서 극한 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$도 존재하지 않는다는 뜻은 아니다. 도함수의 극한이 존재하지 않으면, 도함수를 쓰지 않은 원래 극한을 다른 방법으로 구해야 한다.

예제

1. 다음 극한을 구하시오.

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   이 예제를 로피탈의 정리로 풀 수 있을까? 먼저 분수의 분모에 있는 함수와 분자에 있는 함수의 극한이 점 x₀ = 3에서 모두 0인지 확인해야 한다. 두 함수를 f(x) = x² − 9와 g(x) = x² − x − 6이라고 하자. 둘 다 다항함수이므로 연속이고, 따라서 극한은 함숫값과 같다.

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   첫 번째 조건을 만족한다. x에 3을 대입해서 극한을 구할 수는 없다는 것에 주목하자. 함수 전체가 점 x₀ = 3에서 불연속이기 때문이다. 정확히는 그 점에서 함숫값이 아예 없다(함숫값을 구하려면 0으로 나누어야 하기 때문이다). 이제 로피탈의 정리를 써서 두 함수를 미분해 볼 수 있다. 주의하자. 몫의 미분법을 쓰는 것이 아니라 분자의 함수와 분모의 함수를 따로 미분한다. 그러면 다음을 얻는다.

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   그래서 앞의 극한 대신 다음 극한을 구할 수 있다.

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   이 함수는 점 x₀ = 3에서 연속이므로 x에 3을 대입해서 함수 전체의 함숫값을 구하기만 하면 된다.

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   이 함수의 극한이 존재하므로 극한 $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$도 존재하고, 두 극한은 같다. 따라서 다음이 성립한다.

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. 다음 극한을 구하시오.

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   점 x₀ = 0에서는 어떻게 될까? 이번에도 f(x) = x, g(x) = sin x라고 하자. f(0) = 0이고 g(0) = 0이다. 몫 $\frac{0}{0}$을 얻으므로 함수는 그 점에서 불연속이다. 로피탈의 정리를 써 볼 수 있다. 두 함수를 미분한다.

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   도함수를 구했으니 다음 극한을 구해 보자.

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   점 x₀ = 0에서는 어떻게 될까? cos(0) = 1이므로 분수 $\frac{1}{1}=1$을 얻는다. 함수는 점 x₀ = 0에서 연속이므로 다음이 성립한다.

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   이 극한이 존재하므로 극한 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$도 존재하고, 두 극한은 같다. 따라서 다음을 얻는다.

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$