Quy tắc L'Hôpital

Quy tắc L'Hôpital (còn viết là quy tắc Lôpitan) đôi khi dùng được để tính giới hạn có dạng thương.

Định nghĩa

Khi tính giới hạn của hàm số tại một điểm, trong một số điều kiện nhất định ta có thể nhờ đến đạo hàm. Xét hàm số có dạng thương, tức là ta có các hàm số f(x) và g(x) và cần tìm giới hạn

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, cả hai hàm số có đạo hàm trên một lân cận nào đó của điểm x₀ (tại chính điểm x₀ thì không bắt buộc) và tồn tại giới hạn

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

thì ta có hệ thức:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Nếu giới hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ không tồn tại thì điều đó không có nghĩa là giới hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ cũng không tồn tại. Khi giới hạn của thương các đạo hàm không tồn tại, ta phải tính giới hạn ban đầu bằng cách khác.

Ví dụ

1. Tính giới hạn

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Có thể giải bài này bằng quy tắc L'Hôpital không? Trước hết ta phải kiểm tra giới hạn của cả hai hàm số (hàm số ở mẫu và hàm số ở tử của phân thức) tại điểm x₀ = 3 có bằng 0 không. Đặt f(x) = x² − 9 và g(x) = x² − x − 6. Cả hai đều là đa thức, do đó liên tục, nên giới hạn của chúng bằng giá trị của hàm số:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Điều kiện thứ nhất được thoả mãn. Chú ý rằng ta không thể tính giới hạn bằng cách chỉ việc thay x = 3, vì hàm số đã cho không liên tục tại điểm x₀ = 3, nói đúng hơn là hoàn toàn không có giá trị tại đó (vì muốn có giá trị thì phải chia cho 0). Bây giờ ta có thể thử dùng quy tắc L'Hôpital và tính đạo hàm của cả hai hàm số. Chú ý: không lấy đạo hàm theo công thức đạo hàm của thương, mà lấy đạo hàm riêng hàm số ở tử và riêng hàm số ở mẫu. Ta được:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Thay cho giới hạn ban đầu, ta có thể tính giới hạn sau:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Hàm số này liên tục tại điểm x₀ = 3, nên chỉ cần thay x = 3 và tính giá trị của hàm số:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Ta thấy giới hạn của hàm số này tồn tại, do đó giới hạn $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ cũng tồn tại và hai giới hạn này bằng nhau. Vậy:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Tính giới hạn

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Tình hình tại điểm x₀ = 0 thế nào? Lại đặt f(x) = x và g(x) = sin x. Ta có f(0) = 0 và g(0) = 0. Ta được thương $\frac{0}{0}$, hàm số không liên tục tại điểm này. Có thể thử dùng quy tắc L'Hôpital. Tính đạo hàm của cả hai hàm số:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Có đạo hàm rồi, ta thử tính giới hạn

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Tại điểm x₀ = 0 thì sao? Vì cos(0) = 1 nên ta được phân số $\frac{1}{1}=1$. Hàm số liên tục tại điểm x₀ = 0, nên

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Vì giới hạn này tồn tại nên giới hạn $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ cũng tồn tại và hai giới hạn bằng nhau. Ta được

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$