Limit tak hingga di titik berhingga

Limit fungsi adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Limit menggambarkan perilaku suatu fungsi di sekitar titik tertentu. Berkat limit, kita dapat, misalnya, mendefinisikan kekontinuan fungsi. Limit fungsi juga membantu kita memahami perilaku fungsi di titik-titik tempat fungsi itu sama sekali tidak terdefinisi.

Limit tak hingga di titik berhingga

Pada bagian sebelumnya kita membahas limit berhingga di titik berhingga. Titik x₀ disebut titik berhingga jika x₀ ∈ ℝ, artinya jika titik itu bilangan real. Namun, yang dimaksud dengan titik bisa juga tak hingga. Kita membedakan plus dan minus tak hingga: +∞, −∞. Limit tak hingga di titik berhingga berarti kita mempunyai fungsi f dan titik berhingga x₀, dan limit di titik ini adalah tak hingga. Contoh fungsi seperti ini adalah $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Grafiknya:

Di titik berhingga x₀ = 0, limit fungsi ini adalah plus tak hingga: dari sisi mana pun kita mendekati x₀, nilai fungsinya selalu naik menuju tak hingga. Misalkan x₀ adalah titik limit daerah asal fungsi f. Fungsi f mempunyai limit +∞ di titik x₀ jika

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

dan limit −∞ jika

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Jika definisi ini terpenuhi, kita dapat menuliskan

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Apa arti definisi ini? Pada definisi pertama, variabel K menyatakan semacam batas pada sumbu y. Definisi itu menyatakan bahwa sebesar (setinggi) apa pun batas K yang kita pilih, kita selalu dapat menemukan persekitaran-δ terhapus titik x₀ sehingga semua anggota persekitaran ini mempunyai nilai fungsi yang lebih besar daripada K.

Sebagai contoh, mari kita terapkan definisi ini pada fungsi tadi. Kita mencari limit di titik x₀ = 0 dan memilih K = 4:

Sekarang kita harus menemukan nilai δ sehingga semua titik dari interval (−δ, 0) ∪ (0, δ) mempunyai nilai fungsi yang lebih besar daripada K. Kita bisa memilih, misalnya, δ = 0,2. Jika digambarkan, hasilnya seperti ini:

Terlihat bahwa nilai-nilai fungsi pada interval (−δ, 0) ∪ (0, δ) berada di atas nilai K. Kita juga dapat menghitungnya. Untuk x = −0,2 diperoleh f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Pada bilangan negatif fungsi ini naik, sehingga untuk semua x dari interval (−0,2; 0) nilai fungsinya pasti lebih besar daripada 5, jadi juga lebih besar daripada K = 4. Hal yang sama berlaku untuk interval kedua.

Sejauh ini kita baru menunjukkannya untuk satu K tertentu. Jika limit fungsi ini plus tak hingga, hal itu harus berlaku untuk sembarang K. Mari kita buktikan. Karena f(x) = f(−x) (fungsinya fungsi genap), cukup kita tinjau bagian positifnya saja, yaitu interval (0, ∞).

Diberikan suatu K, dan kita harus menemukan δ sehingga untuk semua x ∈ (0, δ) berlaku f(x) > K. Karena fungsi ini turun pada interval positif, cukup kita temukan δ yang memenuhi f(δ) > K. Dengan begitu, syaratnya pasti juga berlaku untuk semua x ∈ (0, δ). Sekarang kita selesaikan pertidaksamaan f(δ) > K. Setelah substitusi diperoleh

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Kedua ruas pertidaksamaan kita kalikan dengan δ. Menurut definisi, δ selalu positif, sehingga langkah ini diperbolehkan. Diperoleh

$$1>\delta \cdot K$$

Sekarang misalkan K > 0. Untuk K ≤ 0 buktinya sederhana karena f(x) > 0 untuk semua x. Kedua ruas pertidaksamaan sekarang dapat dibagi dengan K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Inilah hasilnya. Jika K diberikan, nilai δ diperoleh dengan mengambil bilangan apa saja yang lebih kecil daripada 1/K (dan, menurut definisi, lebih besar daripada nol). Dengan begitu kita memperoleh interval (0, δ).

Pada contoh sebelumnya, K = 4. Setelah substitusi, diperoleh 1/4>δ. Jadi, delta harus lebih kecil daripada seperempat. Kita memilih 0,2, yaitu seperlima, dan hasilnya memang benar.