Limit sepihak

Biasanya kita menghitung limit dua sisi, yaitu kita mencari nilai yang didekati oleh nilai fungsi, baik dari kiri maupun dari kanan. Namun, kita juga dapat mencari limit sepihak saja, yaitu hanya dari kiri atau hanya dari kanan.

Limit kiri dan limit kanan

Misalkan diberikan fungsi f(x) dan titik x₀ tempat kita ingin menghitung limit. Biasanya kita menuliskan:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Namun, kita juga dapat mendekati titik x₀ dari satu sisi saja, yaitu dari kiri atau dari kanan. Hal ini ditulis dengan tanda minus dan plus pada indeks atas. Jadi, “x mendekati 7 dari kiri” dan “x mendekati 10 dari kanan” ditulis seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Definisinya cukup kita ubah sedikit: alih-alih seluruh persekitaran titik limit, kita hanya mengambil persekitaran kiri atau kanannya. Definisi limit kanan setelah diubah:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Perhatikan bahwa dalam implikasi ini kita hanya mengambil x yang lebih besar daripada x₀, yaitu x yang terletak di sebelah kanan bilangan x₀ pada garis bilangan. Definisi limit kiri:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Secara umum, limit kiri dan limit kanan tidak harus sama. Ada beberapa kemungkinan: fungsi mempunyai limit kiri dan limit kanan di suatu titik, fungsi hanya mempunyai salah satunya, atau fungsi tidak mempunyai keduanya.

Fungsi f mempunyai limit di titik x₀ jika dan hanya jika fungsi tersebut mempunyai limit kiri dan limit kanan di titik itu dan kedua limit tersebut sama. Jika fungsi mempunyai kedua limit sepihak, tetapi nilainya berbeda, fungsi tidak mempunyai limit di titik tersebut, melainkan hanya limit sepihak.

Mari kita tunjukkan semuanya dengan fungsi sederhana f(x) = 1/x. Berikut grafiknya:

Kasus yang sederhana adalah limit untuk x mendekati 1. Di titik 1, fungsi ini kontinu, terdefinisi, dan secara umum merupakan contoh yang mudah. Dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsinya mendekati 1, sehingga limitnya juga 1. Lalu bagaimana jika kita ingin menghitung limit untuk x mendekati nol?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Ini contoh yang lebih menarik. Perhatikan bahwa kita mencari limit di titik yang tidak termasuk daerah asal fungsi. Jika kita substitusikan 0 ke dalam fungsi, diperoleh bentuk yang tidak terdefinisi (tidak boleh dibagi 0!). Hal ini sama sekali tidak menjadi masalah, karena definisi limit berbicara tentang titik limit, dan 0 adalah titik limit daerah asal: di setiap persekitarannya terdapat anggota daerah asal fungsi.

Jika kita lihat grafiknya dan mulai mendekati nol dari sebelah kiri, terlihat bahwa nilai fungsi terus mengecil. Contohnya:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Jika kita mengambil bilangan negatif yang “sangat” dekat dengan nol, misalnya −0,000 001, nilai fungsinya adalah bilangan yang “sangat” kecil: −1.000.000.

Makin dekat kita ke nol dari sebelah kiri, makin dekat nilai fungsi ke minus tak hingga. Sebaliknya, jika kita mendekati nol dari sebelah kanan, nilai fungsinya naik. Makin dekat kita ke nol dari kanan, makin dekat nilai fungsi ke tak hingga. Bagaimana kita menyimpulkannya? Cukup kita katakan bahwa fungsi tidak mempunyai limit di titik nol. Fungsi hanya mempunyai dua limit sepihak yang berbeda:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$