역함수

역함수는 원래 함수와 “거꾸로” 원소를 대응시키는 함수이다.

들어가며

먼저 간단한 일차함수 f(x) = 2x를 생각해 보자. 이 함수의 함숫값은 어떻게 될까? 예를 들어 처음 몇 개의 자연수에 대한 함숫값은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

함수에 2를 넣으면 4가 나온다. 이 함수의 역함수는 무엇을 해야 할까? 거꾸로 작동해야 한다. 4를 넣으면 2가 나와야 한다. 역함수는 f⁻¹로 나타내며, 원소를 거꾸로, 즉 다음과 같이 대응시켜야 한다.

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

어떻게 하면 될까? 원래 함수가 x의 두 배를 내놓았다면, 역함수는 반대로 x의 절반을 내놓아야 한다. 3을 넣으면 두 배가 되어 6이 된다. 6의 절반을 구하면 다시 3이다. 따라서 역함수의 식은 다음과 같다.

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

정의

이제 역함수를 제대로 정의해 보자. 정의역이 D(f)이고 치역이 H(f)인 함수 f가 있다고 하자. 함수의 정의에 따라 정의역 D(f)의 모든 원소 x에 대하여 f(x) = y를 만족하는 치역 H(f)의 원소 y가 있다.

역함수 f⁻¹는 다음을 만족하는 함수이다.

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

이 정의는 무슨 뜻일까? 함수 f에 x를 넣어 y를 얻었다면, 역함수에는 y를 넣을 수 있어야 하고 그 결과는 x여야 한다는 뜻이다.

그림으로도 살펴보자. 첫 번째 그림은 넣은 값의 두 배를 내놓는 원래 함수 f이다. 왼쪽 원은 정의역, 즉 x의 값을 고르는 집합이다. 오른쪽 원은 치역, 즉 함숫값이 될 수 있는 값의 집합이다. 화살표는 어떤 입력이 어떤 출력에 대응하는지를 보여 준다. 물론 화살표는 무수히 많아야 하고, 이것은 함수의 일부일 뿐이다.

다음은 역함수의 그림이다. 역함수는 매우 비슷하지만, 무엇보다 화살표의 방향이 바뀌고 정의역과 치역이 서로 바뀐다.

원래 함수는 D(f)에서 H(f)로 대응시켰지만, 역함수는 거꾸로 H(f)에서 D(f)로 대응시킨다. 따라서 원래 함수의 정의역은 역함수의 치역과 같고, 원래 함수의 치역은 역함수의 정의역과 같다.

역함수가 존재할 조건

무엇보다 역함수가 언제나 존재하는 것은 아니다. 그 이유는 함수의 기본 성질에 있다. 정의역의 같은 두 원소 a = b를 넣으면 함수는 언제나 같은 결과 f(a) = f(b)를 내놓아야 한다. 두 배를 내놓는 함수로 돌아가 보면, 언제나 f(5) = 10이어야 한다. 함수가 예를 들어 13을 내놓는 일, 즉 f(5) = 13은 정의상 함수에서는 일어날 수 없다.

이제 예를 들어 이차함수 f(x) = x²을 생각해 보자. 이 함수에 x₁ = 2와 x₂ = −2를 넣으면 무엇이 나올까? 두 경우 모두 4가 나온다.

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

여기까지는 괜찮다. 그런데 역함수는 어떻게 될까? 이 이차함수의 역함수를 만든다면 다음이 동시에 성립해야 한다.

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

알다시피 이것은 불가능하다. 함수는 같은 입력에 서로 다른 결과를 내놓을 수 없다. 그렇다면 역함수는 언제 존재할까? 서로 다른 두 입력에 대해 같은 값을 내놓는 일이 없을 때이다. 이것이 바로 일대일함수의 정의이다.

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

함수 f의 역함수는 f가 일대일함수일 때, 그리고 그때에만 존재한다. 일대일함수가 아닌 함수에 역함수가 정말 있을 수 없는 이유를 그림으로 확인해 보자. 이차함수 f(x) = x²의 일부를 화살표로 나타낸다.

화살표를 거꾸로 하면 다음 그림을 얻는다.

한 점에서 다른 집합의 서로 다른 두 수로 화살표가 두 개 나간다. 이것은 함수의 정의를 만족하지 않으므로 역함수는 존재할 수 없다.

그래프의 의미

역함수가 존재하면, 함수의 그래프와 역함수의 그래프는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 직선, 즉 함수 f(x) = x의 그래프에 대하여 대칭이다.

역함수 구하기

주어진 함수의 역함수를 구하려면 함수를 방정식으로 쓰고 x에 대해 정리한다. 앞에서 본 일차함수 f(x) = 2x는 다음과 같이 바꾼다.

$$y=2x$$

여기서 출발한다. 목표는 x를 y로 나타내는 것이다. 여기서는 금방 된다. 양변을 2로 나누면

$$\frac{y}{2}=x$$

x를 나타낼 수 있다. 따라서 역함수는 $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$이다. 다른 예를 보자.

$$f(x)=4x-7$$

방정식으로 쓰고 x에 대해 정리한다.

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/÷4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

따라서 역함수는 다음과 같다.

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

확인해 보자. 원래 함수에 3을 넣은 함숫값을 계산한다.

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

역함수를 제대로 구했다면 5를 넣었을 때 다시 3이 나와야 한다.

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

또 다른 예를 보자.

$$f(x)=x^2+1$$

x에 대해 정리한다.

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

이제 곤란한 상황이 되었다. 제곱근 $\sqrt{x^2}$은 그냥 x가 아니고, 절댓값을 붙여야 한다. 즉 다음과 같다.

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

앞의 방정식에 대입하면 다음과 같다.

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

그러면 양수와 음수, 두 가지 결과가 나온다.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

결국 근호 안이 0일 때를 빼면 하나의 y에 서로 다른 두 x가 대응한다. 하지만 어떤 구간에서는 역함수를 찾을 수 있다. 함수의 그래프를 보면

구간 [0, ∞)에서는 역함수가 있을 수 있다는 것을 알 수 있다. 그래서 x₁에 대한 식만 택한다. 그러면 그래프가 다음 그림과 같은 함수를 얻는다.

따라서 이 구간에서는 역함수가 존재한다고 할 수 있다.

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$