Hàm số ngược

Hàm số ngược là hàm số cho tương ứng các phần tử theo chiều “ngược lại” so với hàm số ban đầu.

Ví dụ mở đầu

Trước hết, xét hàm số bậc nhất đơn giản f(x) = 2x. Các giá trị của hàm số này như thế nào? Chẳng hạn, với vài số nguyên dương đầu tiên, giá trị của hàm số như sau:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Ta thấy nếu đưa vào hàm số số 2 thì nhận lại số 4. Hàm số ngược của hàm số này phải làm gì? Nó phải hoạt động theo chiều ngược lại: đưa vào số 4 thì hàm số phải trả về số 2. Hàm số ngược, kí hiệu f⁻¹, phải biến các phần tử theo chiều ngược lại, tức là:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Làm thế nào? Nếu hàm số ban đầu trả về gấp đôi tham số x thì ngược lại, hàm số ngược phải trả về một nửa tham số x. Đưa vào số 3, sau khi nhân đôi ta được 6. Lấy một nửa của 6, ta lại được 3. Hàm số ngược khi đó được viết là:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Định nghĩa

Bây giờ ta định nghĩa hàm số ngược một cách chặt chẽ. Cho hàm số f có tập xác định D_f và tập giá trị T_f. Theo định nghĩa hàm số, với mọi phần tử x thuộc tập xác định D_f, có một phần tử y thuộc tập giá trị T_f sao cho f(x) = y.

Hàm số ngược f⁻¹ là hàm số thoả mãn:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Định nghĩa này cho ta biết điều gì? Nếu gọi hàm số f với đối số x và nhận được giá trị y thì phải gọi được hàm số ngược với đối số y, và hàm số ngược phải trả về giá trị x.

Ta minh hoạ thêm bằng hình vẽ. Hình thứ nhất biểu diễn hàm số ban đầu f, trả về gấp đôi giá trị nhận được. Hình tròn bên trái là tập xác định, tập hợp mà từ đó ta chọn giá trị cho x. Hình tròn bên phải là tập giá trị, tập hợp các giá trị mà hàm số có thể nhận. Các mũi tên cho biết đầu vào nào ứng với đầu ra nào. Tất nhiên phải có vô số mũi tên; đây chỉ là một phần nhỏ của hàm số.

Tiếp theo là hình của hàm số ngược. Hàm số ngược trông rất giống, chủ yếu chỉ đổi chiều các mũi tên, đồng thời tập xác định và tập giá trị cũng đổi chỗ cho nhau.

Ta thấy hàm số ban đầu biến D_f vào T_f, còn hàm số ngược thì ngược lại, biến T_f vào D_f. Như vậy tập xác định của hàm số ban đầu bằng tập giá trị của hàm số ngược, và tập giá trị của hàm số ban đầu bằng tập xác định của hàm số ngược.

Sự tồn tại của hàm số ngược

Trước hết, hàm số ngược không phải lúc nào cũng tồn tại, và lí do nằm ở tính chất cơ bản của hàm số. Nếu lấy hai phần tử bằng nhau của tập xác định a = b thì hàm số phải luôn trả về cùng một kết quả f(a) = f(b). Quay lại hàm số trả về giá trị gấp đôi: luôn phải có f(5) = 10. Không thể xảy ra chuyện hàm số trả về, chẳng hạn, 13: f(5) = 13; theo định nghĩa, điều này không được xảy ra với một hàm số.

Bây giờ phân tích trường hợp, chẳng hạn, hàm số bậc hai f(x) = x². Hàm số trả về gì khi gọi nó với các đối số x₁ = 2 và x₂ = −2? Trong cả hai trường hợp, hàm số đều trả về giá trị 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Đến đây vẫn ổn. Nhưng hàm số ngược sẽ ra sao? Nếu lập hàm số ngược của hàm số bậc hai này thì phải đồng thời có:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Như đã biết, điều này là không thể. Hàm số không thể trả về các kết quả khác nhau với cùng một đối số. Vậy khi nào hàm số ngược tồn tại? Khi không có hai đối số đầu vào nào mà hàm số trả về cùng một giá trị. Đó chính là định nghĩa của hàm số đơn ánh:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Hàm số ngược của hàm số f tồn tại khi và chỉ khi hàm số f là đơn ánh. Ta làm rõ thêm bằng hình vẽ vì sao hàm số không đơn ánh thì không thể có hàm số ngược. Biểu diễn bằng mũi tên một phần của hàm số bậc hai f(x) = x²:

Nếu thử đảo chiều các mũi tên, ta được hình sau:

Ta được một hình trong đó từ một điểm có hai mũi tên đi tới hai số khác nhau của tập hợp thứ hai. Điều này không thoả mãn định nghĩa hàm số, nên hàm số ngược không thể tồn tại.

Ý nghĩa hình học

Nếu hàm số ngược tồn tại thì đồ thị của hàm số và đồ thị của hàm số ngược đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba, cũng chính là đồ thị của hàm số f(x) = x.

Tìm hàm số ngược

Khi đề bài cho một hàm số và yêu cầu tìm hàm số ngược của nó, ta viết hàm số thành một phương trình rồi rút x từ phương trình đó. Với hàm số bậc nhất f(x) = 2x ở trên, ta viết:

$$y=2x$$

Ta bắt đầu từ đây. Mục tiêu là biểu diễn x theo y. Ở đây làm rất nhanh: chỉ cần chia hai vế cho 2

$$\frac{y}{2}=x$$

và ta đã biểu diễn được x. Vậy hàm số ngược là $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Ví dụ khác:

$$f(x)=4x-7$$

Viết thành phương trình và rút x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Hàm số ngược có dạng:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Ta có thể kiểm tra. Tính giá trị của hàm số ban đầu tại 3:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Nếu tìm hàm số ngược đúng thì khi gọi nó với giá trị 5, ta phải nhận lại số 3:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Ví dụ khác:

$$f(x)=x^2+1$$

Rút x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Đến đây ta gặp khó khăn. Không thể đơn giản khai căn x² thành x, mà phải thêm dấu giá trị tuyệt đối:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Thay vào phương trình trên:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Như vậy ta được hai kết quả, một dương và một âm:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Kết quả là với một giá trị y có hai giá trị x khác nhau, trừ trường hợp căn bằng 0. Tuy vậy, có thể tìm hàm số ngược trên một khoảng nào đó. Quan sát đồ thị hàm số:

ta thấy hàm số ngược có thể tồn tại trên nửa khoảng [0; +∞). Khi đó chỉ lấy nghiệm x₁. Ta được hàm số có đồ thị như trên hình:

Vậy có thể nói trên khoảng đã cho tồn tại hàm số ngược

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$