Tính liên tục của hàm số

Như trực giác đã gợi ý, tính liên tục cho biết hàm số có “liền” tại một điểm hay bị “đứt” ở đó. Ta định nghĩa và xét tính liên tục bằng giới hạn của hàm số; nếu chưa nắm vững giới hạn, bạn sẽ khó theo kịp.

Định nghĩa hàm số liên tục

Thật bất ngờ, tính liên tục được định nghĩa khá đơn giản và dễ hiểu, nếu bạn đã hiểu rõ giới hạn. Định nghĩa như sau:

Hàm số f(x) gọi là liên tục tại điểm a thuộc tập xác định của f nếu:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Ta còn có thể định nghĩa liên tục bên trái và liên tục bên phải, nếu thay giới hạn bằng giới hạn bên trái hoặc bên phải. Chú ý:

• Đến đây ta mới định nghĩa hàm số f liên tục tại một điểm. Nếu hàm số f liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó thì ta nói f là hàm số liên tục trên toàn bộ tập xác định.
• Điểm a trong định nghĩa tính liên tục phải là điểm tụ.
• Để hàm số liên tục tại điểm a thì phải tồn tại f(a) (số a phải thuộc tập xác định của hàm số), phải tồn tại giới hạn $\underset{x\to a}{lim}f(x)$, và hai giá trị này bằng nhau.
• Hàm số liên tục tại một điểm thì liên tục cả bên trái lẫn bên phải tại điểm đó. Cũng như với giới hạn, hàm số có thể chỉ liên tục bên trái hoặc chỉ liên tục bên phải tại một điểm. Nếu giới hạn bên trái và giới hạn bên phải khác nhau thì hàm số không liên tục tại điểm đó.

Định nghĩa nói gì? Thứ nhất, hàm số phải xác định tại điểm đang xét. Nếu hàm số không xác định tại điểm đó thì chắc chắn cũng không liên tục tại đó. Nếu hàm số xác định, ta xem đến giới hạn. Nếu cả từ bên phải lẫn bên trái hàm số đều dần tới giá trị của nó tại điểm đó thì hàm số liên tục tại điểm đó. Nếu các giới hạn khác giá trị của hàm số thì hàm số gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ đơn giản: trong bài giới hạn của hàm số ta đã xét hàm số $f(x)=\frac{x}{3}$, một hàm số bậc nhất đơn giản. Với mọi điểm a ∈ ℝ ta có

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Do đó hàm số f liên tục trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn, với a = 6 ta có:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Điểm gián đoạn

Nếu hàm số không liên tục tại điểm a thì ta nói hàm số gián đoạn tại điểm đó. Điều này chẳng có gì bất ngờ. Tuy nhiên ta phân biệt mấy loại điểm gián đoạn, tuỳ theo việc phải “sửa đồ thị” nhiều đến đâu để hàm số trở nên liên tục.

Có ba loại gián đoạn cơ bản:

Điểm gián đoạn khử được

Điểm gián đoạn khử được là điểm tại đó tồn tại cả hai giới hạn một bên và chúng bằng nhau, tức là hàm số có giới hạn tại điểm đó, nhưng giới hạn này khác giá trị của hàm số, hoặc hàm số không xác định tại điểm đó. Nếu a là điểm gián đoạn khử được của hàm số f(x) thì:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ nhưng }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Làm ví dụ, ta xét hàm số giá trị tuyệt đối của signum x. Ta muốn biết hàm số có liên tục tại điểm a = 0 không. Đồ thị như sau:

Ta thấy hàm số gần như liên tục trên toàn bộ, chỉ tại điểm 0 có một chỗ hở, vì giá trị của hàm số tại đó bằng 0 chứ không bằng 1. Trong khi đó giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại điểm này đều bằng 1. Gián đoạn này gọi là khử được, vì chỉ cần định nghĩa lại giá trị tại đúng một điểm đó là ta được một hàm số liên tục. Điểm gián đoạn này dễ dàng khử được.

Điểm gián đoạn loại một

Điểm gián đoạn loại một là điểm a tại đó tồn tại cả hai giới hạn một bên, hơn nữa chúng hữu hạn, nhưng không bằng nhau. Định nghĩa:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Ta minh hoạ điểm gián đoạn này trên hàm số đơn giản f(x) = sgn(x):

Một lần nữa ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm a = 0. Giới hạn bên trái bằng −1 và giới hạn bên phải bằng 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Giới hạn bên trái và bên phải không bằng nhau nhưng đều hữu hạn. Vậy đây là điểm gián đoạn loại một.

Với loại điểm gián đoạn này, ta còn định nghĩa bước nhảy của hàm số tại điểm. Đó là hiệu của hai giới hạn này, tức là bước nhảy s của hàm số f tại điểm a bằng:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Điểm gián đoạn loại hai

Điểm gián đoạn loại hai là điểm có ít nhất một giới hạn một bên vô cực, hoặc có ít nhất một giới hạn một bên không tồn tại. Làm ví dụ, ta xét hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$. Điểm gián đoạn nằm tại 0:

Giới hạn bên trái tại điểm 0 là âm vô cực, giới hạn bên phải tại điểm 0 là dương vô cực. Cả hai giới hạn đều là giới hạn vô cực, nên đây là điểm gián đoạn loại hai. Gián đoạn này không thể khử bằng cách đơn giản nào.

Liên tục trên một khoảng

Ta đã định nghĩa liên tục tại một điểm, nhưng chưa định nghĩa liên tục trên một khoảng. Vậy: hàm số liên tục trên khoảng I nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Cần phân biệt cẩn thận khoảng và đoạn. Với khoảng (mở cả hai đầu), hàm số không nhất thiết liên tục tại hai đầu mút, đơn giản vì khoảng không chứa các đầu mút của nó. Còn với đoạn, hàm số phải liên tục bên phải tại đầu mút trái và liên tục bên trái tại đầu mút phải.

Đã lâu ta không gặp hàm signum. Vậy xét hàm signum. Trên khoảng (0; +∞) hàm số liên tục. Hàm signum có điểm gián đoạn tại 0, nhưng vì khoảng là mở nên điểm 0 không phải xét. Trên nửa khoảng [0; +∞) hàm số không còn liên tục, vì nó không liên tục bên phải tại điểm 0.

Vì sao không liên tục bên phải? Vì giới hạn bên phải bằng 1, còn giá trị của hàm số bằng 0. Hai giá trị không bằng nhau, nên hàm số không liên tục bên phải tại điểm đó.

Hàm số gọi là liên tục từng khúc nếu nó chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn loại một (hoặc gián đoạn khử được). Vậy nếu hàm số có vô số điểm gián đoạn thì nó không liên tục từng khúc, cần chú ý điều này.

Trong thực hành, ta thường xét tính liên tục của hàm số nhờ đạo hàm. Hàm số có đạo hàm tại một điểm thì cũng liên tục tại điểm đó.