함수의 연속

함수의 연속은 직관대로, 함수가 어떤 점에서 이어져 있는지 아니면 어딘가 끊어져 있는지를 알려 준다. 연속은 함수의 극한으로 정의하고 판단한다. 극한을 모르면 따라오기 어렵다.

함수의 연속의 정의

놀랍게도 연속은 꽤 간단히 정의할 수 있고, 극한을 완전히 이해했다면 쉽게 이해된다. 함수의 연속의 정의는 다음과 같다.

함수 f의 정의역에 속하는 점 a에서 다음이 성립하면 함수 f(x)는 점 a에서 연속이라고 한다.

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

극한 대신 좌극한이나 우극한을 넣으면 좌연속과 우연속도 정의할 수 있다. 다음에 주목하자.

• 지금까지는 점에서의 함수 f의 연속만 정의했다. 함수 f가 정의역의 모든 점에서 연속이면 함수 f를 정의역 전체에서 연속함수라고 할 수 있다.
• 연속의 정의에 나오는 점 a는 집적점이어야 한다.
• 함수가 점 a에서 연속이려면 f(a)가 존재하고(값 a가 함수의 정의역에 속하고), 극한 $\underset{x\to a}{lim}f(x)$가 존재하며, 두 값이 같아야 한다.
• 어떤 점에서 연속인 함수는 그 점에서 좌연속이면서 우연속이다. 극한과 마찬가지로 함수는 어떤 점에서 좌연속이기만 하거나 우연속이기만 할 수도 있다. 좌극한과 우극한이 다르면 함수는 그 점에서 연속이 아니다.

정의는 무엇을 말할까? 첫째로 함수는 그 점에서 정의되어 있어야 한다. 함수가 그 점에서 정의되어 있지 않으면 분명히 그 점에서 연속도 아니다. 정의되어 있으면 극한을 본다. 함수가 오른쪽에서도 왼쪽에서도 그 점에서의 함숫값에 가까워지면 함수는 그 점에서 연속이다. 극한이 함숫값과 다르면 함수는 그 점에서 불연속이다.

간단한 예: 함수의 극한에서 함수 $f(x)=\frac{x}{3}$를 보았다. 간단한 일차함수이다. 모든 점 a ∈ ℝ에 대해 다음이 성립한다.

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

따라서 함수 f는 정의역 전체에서 연속이다. 예를 들어 a에 수 6을 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

불연속점

함수가 점 a에서 연속이 아니면 그 점에서 불연속이다. 그리 놀랍지 않다. 하지만 함수가 연속이 되도록 “그래프를 얼마나 고쳐야 하는지”에 따라 불연속점을 몇 가지로 나눈다.

기본적인 불연속은 세 가지이다.

제거 가능한 불연속점

두 한쪽 극한이 모두 존재하고 서로 같은, 즉 함수가 그 점에서 극한을 가지지만 이 극한이 함숫값과 다르거나 함수가 그 점에서 정의되어 있지 않은 점을 제거 가능한 불연속점이라고 한다. a가 함수 f(x)의 제거 가능한 불연속점이면 다음이 성립한다.

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ 이지만 }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

예로 부호 함수의 절댓값을 보자. 이 함수가 점 a = 0에서 연속인지 알고 싶다. 그래프는 다음과 같다.

함수는 거의 모든 곳에서 연속이지만, 점 0에만 빈틈이 있다. 그곳의 함숫값이 1이 아니라 0이기 때문이다. 그런데 이 점에서의 좌극한과 우극한은 모두 1이다. 이 하나뿐인 점을 다시 정의하기만 하면 연속함수를 얻으므로, 이 불연속을 제거 가능한 불연속이라고 한다. 이 불연속점은 쉽게 없앨 수 있다.

제1종 불연속점

두 한쪽 극한이 모두 존재하고 게다가 둘 다 유한한 값이지만 서로 같지 않은 점 a를 제1종 불연속점이라고 한다. 정의는 다음과 같다.

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

이 불연속점을 간단한 함수 f(x) = sgn(x)로 보자.

이번에도 함수는 점 a = 0에서 불연속이다. 이때 좌극한은 −1이고 우극한은 1이다.

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

좌극한과 우극한은 같지 않지만 유한한 값이다. 따라서 제1종 불연속점이다.

이 불연속점에 대해서는 점에서의 함수의 도약이라는 개념도 정의한다. 두 극한의 차이다. 즉 점 a에서 함수 f의 도약 s는 다음 값이다.

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

제2종 불연속점

적어도 하나의 한쪽 극한이 무한대로 발산하거나, 적어도 하나의 극한이 존재하지 않는 점을 제2종 불연속점이라고 한다. 예로 함수 $f(x)=\frac{1}{x}$을 보자. 불연속점은 점 0이다.

점 0에서 좌극한은 음의 무한대이고 우극한은 양의 무한대이다. 두 극한 모두 무한대로 발산하므로 제2종 불연속점이다. 이 불연속은 어떤 간단한 방법으로도 없앨 수 없다.

구간에서의 연속

점에서의 연속은 정의했지만 어떤 구간에서의 연속은 아직 정의하지 않았다. 함수가 구간 I의 모든 점에서 연속이면 함수는 구간 I에서 연속이다. 열린구간과 닫힌구간을 꼼꼼히 구별하는 것이 중요하다. 양쪽이 열린구간이면 함수는 양 끝 점에서 연속이 아니어도 된다. 열린구간은 양 끝 점을 포함하지 않기 때문이다. 하지만 닫힌구간이면 함수는 양 끝 점에서 좌연속이거나 우연속이어야 한다.

부호 함수를 본 지 오래되었다. 그러니 부호 함수를 보자. 열린구간 (0, ∞)에서 이 함수는 연속이다. 부호 함수는 0에서 불연속이지만, 구간이 열려 있어서 0은 확인할 대상에서 빠진다. 구간 [0, ∞)에서는 더 이상 연속이 아니다. 점 0에서 우연속이 아니기 때문이다.

왜 우연속이 아닐까? 우극한은 1인데 함숫값은 0이기 때문이다. 두 값이 같지 않으므로 함수는 그 점에서 우연속이 아니다.

불연속점이 제1종 불연속점(또는 제거 가능한 불연속점)으로 유한 개뿐인 함수를 구간별 연속함수라고 한다. 불연속점이 무한히 많으면 구간별 연속이 아니니 주의하자.

실제로는 함수의 미분으로 함수의 연속을 판단한다. 어떤 점에서 미분가능한 함수는 그 점에서 연속이기도 하다.