Giới hạn một bên

Thông thường ta tính giới hạn hai bên, tức là xác định giá trị của hàm số dần tới đâu khi x tiến đến một điểm từ cả bên trái lẫn bên phải. Nhưng ta cũng có thể chỉ xét giới hạn một bên: chỉ từ bên trái hoặc chỉ từ bên phải.

Giới hạn một bên

Cho hàm số f(x) và một điểm x₀ tại đó ta muốn tính giới hạn. Bình thường ta viết:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Nhưng ta cũng có thể tiến đến điểm x₀ chỉ từ một phía: từ bên trái hoặc từ bên phải. Ta kí hiệu điều đó bằng dấu trừ và dấu cộng ở chỉ số trên. Như vậy “x dần tới 7 từ bên trái” và “x dần tới 10 từ bên phải” được viết như sau:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Ta sửa định nghĩa rất đơn giản: thay vì toàn bộ lân cận của điểm tụ, ta chỉ lấy lân cận bên trái hoặc bên phải của nó. Định nghĩa giới hạn bên phải sau khi sửa:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Chú ý rằng trong mệnh đề kéo theo ta chỉ lấy các x lớn hơn x₀, tức là các x nằm bên phải số x₀ trên trục số. Định nghĩa giới hạn bên trái:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Nói chung, giới hạn bên trái và giới hạn bên phải không nhất thiết bằng nhau. Có thể xảy ra mấy trường hợp: hàm số có cả giới hạn bên trái lẫn bên phải tại điểm đó, hàm số chỉ có một trong hai giới hạn này, và cuối cùng là không có giới hạn nào.

Hàm số f có giới hạn tại điểm x₀ khi và chỉ khi nó có giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại điểm này và hai giới hạn đó bằng nhau. Nếu hàm số có cả hai giới hạn một bên nhưng chúng khác nhau thì hàm số không có giới hạn tại điểm đó, mà chỉ có các giới hạn một bên.

Ta thử minh hoạ tất cả trên hàm số đơn giản f(x) = 1/x. Đồ thị như sau:

Trường hợp hiển nhiên là giới hạn khi x dần tới 1. Tại điểm 1 hàm số liên tục, xác định, nói chung là một ví dụ dễ chịu. Từ cả bên trái lẫn bên phải giá trị của hàm số đều dần tới 1, nên giới hạn cũng bằng 1. Nhưng nếu ta muốn tính giới hạn khi x dần tới 0 thì sao?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Đây là một ví dụ thú vị. Chú ý rằng ta đang tìm giới hạn tại một điểm không thuộc tập xác định của hàm số. Nếu thay x = 0 vào hàm số, ta được một biểu thức vô nghĩa (không được chia cho 0!). Điều đó hoàn toàn không sao, vì định nghĩa nói về điểm tụ, mà 0 là điểm tụ của tập xác định, bởi trong mọi lân cận của nó đều có phần tử thuộc tập xác định của hàm số.

Nhìn đồ thị, khi tiến đến 0 từ bên trái, ta thấy giá trị của hàm số giảm mãi. Ví dụ:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Nếu lấy một số âm “rất” gần 0, chẳng hạn −0,000 001, ta sẽ được giá trị của hàm số là một số “rất” nhỏ: −1.000.000.

Càng gần 0 từ bên trái, giá trị của hàm số càng dần tới âm vô cực. Ngược lại, khi tiến đến 0 từ bên phải thì giá trị của hàm số tăng. Càng gần 0 từ bên phải, giá trị của hàm số càng dần tới dương vô cực. Ta giải quyết thế nào? Đơn giản là nói hàm số không có giới hạn tại điểm 0, mà chỉ có hai giới hạn một bên khác nhau:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$