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한쪽 극한

보통은 양측 극한, 즉 함숫값이 왼쪽과 오른쪽에서 모두 어떤 값에 가까워지는지를 구한다. 하지만 한쪽 극한, 즉 왼쪽에서만 또는 오른쪽에서만의 극한을 구할 수도 있다.

한쪽 극한

어떤 함수 f(x)와 극한을 구하려는 어떤 점 x0이 있다고 하자. 보통은 다음과 같이 쓴다.

limx→x0f(x)=?

하지만 점 x0에 한쪽에서만, 즉 왼쪽에서만 또는 오른쪽에서만 다가갈 수도 있다. 이것은 위 첨자에 마이너스와 플러스 기호를 붙여 나타낸다. 그래서 “x가 왼쪽에서 7에 가까워질 때”와 “x가 오른쪽에서 10에 가까워질 때”는 다음과 같이 쓴다.

limx→7−f(x)=L1limx→10+f(x)=L2

정의는 간단히 바꾼다. 집적점의 근방 전체 대신 그 왼쪽 근방이나 오른쪽 근방만 생각한다. 바꾼 우극한의 정의는 다음과 같다.

(∀ϵ>0)(∃δ>0)(∀x∈D(f))((x0<x<x0+δ)⇒|f(x)−L|<ϵ).

조건문에서 x0보다 큰 x, 즉 수직선에서 수 x0의 오른쪽에 있는 x만 택한다는 것에 주목하자. 좌극한의 정의는 다음과 같다.

(∀ϵ>0)(∃δ>0)(∀x∈D(f))((x0−δ<x<x0)⇒|f(x)−L|<ϵ).

좌극한과 우극한은 일반적으로 같지 않아도 된다. 여러 경우가 있을 수 있다. 함수가 그 점에서 좌극한과 우극한을 모두 가질 수도 있고, 둘 가운데 하나만 가질 수도 있고, 둘 다 갖지 않을 수도 있다.

이때 함수 f가 점 x0에서 극한을 가질 필요충분조건은 그 점에서 좌극한과 우극한을 모두 가지고 두 극한이 같은 것이다. 두 한쪽 극한을 모두 가지지만 서로 다르면 함수는 그 점에서 극한을 갖지 않고 한쪽 극한만 가진다.

간단한 함수 f(x) = 1/x로 모두 보여 주자. 그래프는 다음과 같다.

함수 f(x)=1/x의 그래프

x가 1에 가까워질 때의 극한은 자명한 경우이다. 점 1에서 함수는 정의되어 있고 연속이며 여러모로 좋은 예이다. 왼쪽에서도 오른쪽에서도 함숫값이 1에 가까워지므로 극한도 1이다. 그러면 x가 0에 가까워질 때의 극한을 구하려면 어떻게 될까?

limx→01x=?

이것은 흥미로운 예이다. 함수의 정의역에 속하지 않는 점에서 극한을 구하려는 것에 주목하자. 함수에 값 0을 대입하면 올바르지 않은 식이 나온다(0으로는 나눌 수 없다!). 하지만 전혀 상관없다. 정의는 집적점을 말하고, 0은 정의역의 집적점이다. 0의 어떤 근방에서도 함수의 정의역의 원소를 찾을 수 있기 때문이다.

그래프를 보면서 왼쪽에서 0에 다가가면 함숫값이 끊임없이 작아진다는 것을 알 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

f(−10)=−1/10f(−1)=−1f(−12)=−2f(−1/10)=−10

0에 “아주” 가까운 음수, 예를 들어 −0.000 001을 택하면 함숫값으로 “아주” 작은 수 −1,000,000을 얻는다.

왼쪽에서 0에 가까워질수록 함숫값은 음의 무한대에 가까워진다. 반대로 오른쪽에서 0에 다가가면 함숫값이 커진다는 것을 알 수 있다. 오른쪽에서 0에 가까워질수록 함숫값은 무한대에 가까워진다. 이것을 어떻게 정리할까? 간단히, 함수는 점 0에서 극한을 갖지 않는다고 말한다. 서로 다른 두 한쪽 극한만 가진다.

limx→0−1x=−∞limx→0+1x=+∞

목차: 함수의 극한, 유한한 점에서 무한대로 발산하는 극한, 무한대에서의 극한값, 무한대에서 무한대로 발산하는 극한, 한쪽 극한, 로피탈의 정리