Едностранна граница

Обикновено пресмятаме двустранна граница, т.е. установяваме към коя стойност се приближават стойностите на функцията както отляво, така и отдясно. Можем обаче да установяваме и само едностранна граница – само отляво или само отдясно.

Едностранни граници

Нека имаме някоя функция f(x) и някоя точка x₀, в която искаме да пресметнем граница. Обикновено бихме написали:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Към точката x₀ обаче можем да се приближаваме само от някоя страна – или отляво, или отдясно. Това се записва със знаците минус и плюс в горния индекс. Така „x, което се приближава към седем отляво“ и „x, което се приближава към десет отдясно“ бихме записали така:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Определението променяме просто: вместо цялата околност на точката на сгъстяване вземаме само нейната лява или дясна околност. Променено определение на граница отдясно:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Забележи, че в импликацията вземаме само онези x, които са по-големи от x₀ – т.е. онези x, които върху числовата ос са вдясно от числото x₀. Определение на граница отляво:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Лявата и дясната граница в общия случай не е необходимо да са равни. Възможни са няколко случая: функцията има в точката граница и отляво, и отдясно; функцията има само една от тези граници; накрая може да няма нито една от тях.

При това функцията f има в точката x₀ граница тогава и само тогава, когато в тази точка има граница отляво и отдясно и двете граници са равни. Ако има и двете едностранни граници, но те са различни, функцията няма граница в дадената точка – има само едностранни граници.

Нека го покажем на простата функция f(x) = 1/x. Следва графиката:

Тривиален случай е границата, когато x се приближава към единица. В точката едно функцията е непрекъсната, определена е и като цяло е удобен пример. И отляво, и отдясно стойността на функцията се приближава към единица, така че и границата е едно. Но какво правим, ако искаме да пресметнем границата, когато x се приближава към нула?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Това вече е интересен пример. Забележи, че се опитваме да търсим граница в точка, която не е в дефиниционното множество на функцията. Ако заместим във функцията стойността нула, получаваме израз без смисъл (на нула не се дели!). Това изобщо не ни пречи, защото в определението се говори за точка на сгъстяване, а нулата е точка на сгъстяване на дефиниционното множество, защото във всяка нейна околност намираме някакъв елемент от дефиниционното множество на функцията.

Когато погледнем графиката и започнем да се приближаваме към нулата от лявата страна, виждаме, че стойността на функцията непрекъснато намалява. Примери:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Ако вземем някакво отрицателно число, което е „много“ близо до нулата, да речем −0,000 001, ще получим като стойност на функцията „много“ малко число: −1 000 000.

Колкото по-близо сме до нулата от лявата страна, толкова повече стойността на функцията се приближава към минус безкрайност. Обратно, виждаме, че ако се приближаваме към нулата от дясната страна, стойността на функцията расте. Колкото повече се приближаваме към нулата отдясно, толкова повече стойността на функцията се приближава към безкрайност. Как да го решим? Просто казваме, че функцията няма граница в точката нула. Има само две различни едностранни граници:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$