Paradoks teori himpunan

Teori himpunan naif memuat beberapa paradoks menarik, yang akhirnya mendorong penyusunan teori himpunan yang lebih cermat. Paradoks-paradoks ini sering bertumpu pada kenyataan bahwa dalam teori himpunan naif suatu himpunan boleh memuat dirinya sendiri sebagai anggota.

Paradoks Russell

Salah satu paradoks yang paling terkenal adalah paradoks Russell. Paradoks ini dapat dirumuskan sebagai berikut. Misalkan ada himpunan N yang memuat tepat semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai anggota. Jadi, jika suatu himpunan memuat dirinya sendiri sebagai anggota, himpunan itu tidak termasuk dalam himpunan N. Jika tidak memuat dirinya sendiri, himpunan itu termasuk dalam N.

Pertanyaannya: apakah himpunan N memuat himpunan N, yaitu dirinya sendiri, sebagai anggota?

Dengan memeriksa kedua kemungkinan, kita temukan hal berikut. Jika himpunan N tidak memuat N, maka himpunan itu tidak memuat dirinya sendiri, sehingga seharusnya termasuk dalam himpunan N. Artinya, seharusnya berlaku N ∈ N.

Sebaliknya, jika himpunan N memuat anggota N, seharusnya tidak berlaku N ∈ N, karena himpunan N hanya memuat himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai anggota.

Paradoksnya terletak pada kenyataan bahwa salah satu syarat selalu dilanggar. Jika N ∈ N, hal ini bertentangan dengan definisi himpunan N (himpunan ini hanya memuat himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri, padahal di sini jelas N memuat N sebagai anggota). Jika tidak berlaku N ∈ N, definisi N juga dilanggar.

Jadi, himpunan seperti itu tidak dapat dibentuk. Dalam teori himpunan yang benar, hal seperti ini seharusnya tidak terjadi.

Paradoks Russell juga mempunyai beberapa tafsiran dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya paradoks tukang cukur. Di sebuah kota ada tukang cukur yang mencukur tepat orang-orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Pertanyaannya: apakah tukang cukur itu mencukur dirinya sendiri?

Paradoks Cantor

Paradoks berikutnya adalah paradoks Cantor. Paradoks ini bertumpu pada kenyataan bahwa jika kita mempunyai himpunan M, himpunan kuasanya P(M) (himpunan semua himpunan bagian dari himpunan M) selalu mempunyai kardinalitas yang lebih besar. Pada himpunan berhingga hal ini langsung terlihat, sedangkan untuk himpunan tak hingga hal ini mudah dibuktikan. Pernyataan ini disebut teorema Cantor. Rumusan lengkap dan buktinya dapat kamu temukan di Wikipedia.

Paradoksnya sendiri lebih sederhana daripada paradoks sebelumnya. Bayangkan himpunan semua himpunan, sebut saja M. Jadi, untuk himpunan apa pun N berlaku N ∈ M. Namun, menurut teorema Cantor, kardinalitas himpunan kuasa P(M) lebih besar daripada kardinalitas M. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa M memuat semua himpunan. Jika himpunan P(M) lebih besar daripada M, himpunan itu pasti memuat anggota yang tidak dimuat himpunan M.