Pemfaktoran polinomial

Polinomial, atau suku banyak, dapat difaktorkan menjadi hasil kali beberapa polinomial. Misalkan kita punya polinomial

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Konstanta n menyatakan derajat polinomial, yaitu pangkat tertinggi dalam polinomial yang koefisiennya tidak nol. Sebagai contoh, polinomial x³ − 4x² − 5x berderajat 3. Semua pangkat lainnya lebih rendah (pangkat 2 dan 1), atau koefisiennya nol. Sekarang kita bisa mengatakan bahwa jika kita menemukan suatu akar k dari polinomial kita, ada polinomial lain Q_{n − 1}(x) yang derajatnya satu lebih rendah dan memenuhi

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Kedengarannya rumit, tetapi artinya sebagai berikut. Jika kita mengetahui akar polinomial P_n(x), kita bisa menemukan polinomial lain Q_{n − 1}(x) yang jika dikalikan dengan (x − k) menghasilkan polinomial awal P_n(x). Derajat polinomial Q_{n − 1}(x) satu lebih rendah daripada derajat P_n(x). Perhatikan polinomial kita P₃(x) = x³ − 4x² − 5x. Salah satu akarnya adalah k₁ = 0 (karena jika x pada polinomial kita substitusikan dengan nol, nilai seluruh bentuk sama dengan nol). Jadi, harus ada polinomial Q₂(x) yang memenuhi

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Di sini perhitungannya mudah, karena x − 0 tentu sama dengan x, sehingga kita peroleh persamaan:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Dari polinomial awal P₃(x) kita cukup mengeluarkan faktor x, dan kita memperoleh polinomial baru Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Inilah pemfaktoran pertama polinomial tersebut. Polinomial awal x³ − 4x² − 5x berhasil kita faktorkan menjadi hasil kali (x − 0) dan x² − 4x − 5, yaitu polinomial berderajat lebih rendah. Polinomial x² − 4x − 5 ini masih bisa difaktorkan lagi. Jika kita menyelesaikan persamaan kuadrat

$$x^2-4x-5=0$$

kita peroleh bahwa akar-akar persamaan ini adalah k₂ = 5 dan k₃ = −1. Jadi, kita seharusnya bisa menemukan polinomial Q₁(x) yang memenuhi

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Mencari polinomial Q₁(x) tidak terlalu mudah. Kita bisa memakai, misalnya, pembagian polinomial. Dengan cara itu kita peroleh polinomial Q₁(x) = x + 1, sehingga bisa ditulis

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Seluruh polinomial awal P₃(x) sama dengan:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Jika seluruh polinomial difaktorkan seperti ini, akar-akarnya bisa dibaca dengan mudah. Jika salah satu faktor dalam hasil kali itu sama dengan nol, nilai seluruh bentuk juga sama dengan nol. Karena itu, dari bentuk ini terlihat jelas bahwa akar-akar polinomial tersebut adalah k₁ = 0, k₂ = 5, dan k₃ = −1.