Operasi ekuivalen pada persamaan

Saat mengubah persamaan, kita menggunakan operasi ekuivalen, yaitu operasi yang tidak mengubah himpunan penyelesaian persamaan. Tujuannya adalah membawa persamaan ke bentuk yang lebih sederhana, sehingga penyelesaiannya bisa langsung dihitung.

Apa itu persamaan

Pertama, kita bahas singkat apa itu persamaan dan bagaimana cara menuliskannya. Jika kita mempunyai dua fungsi f(x) dan g(x), kesamaan keduanya dapat kita tuliskan sebagai persamaan:

$$f(x)=g(x)$$

Di sini f(x) disebut ruas kiri persamaan dan g(x) ruas kanan. Sebagai pengganti fungsi umum f(x) dan g(x), kita bisa membayangkan fungsi konkret, misalnya f(x) = 3x dan g(x) = x + 2. Persamaannya menjadi seperti ini:

$$3x=x+2$$

Penyelesaian persamaan adalah suatu himpunan, misalnya S, sehingga untuk setiap x dari himpunan S persamaan tetap benar setelah nilai itu disubstitusikan. Jadi, penyelesaian persamaan contoh di atas adalah himpunan

$$S=\left\{1\right\}.$$

Setelah disubstitusikan ke persamaan, diperoleh

$$3\cdot 1=1+2$$

Operasi ekuivalen adalah operasi yang tidak mengubah himpunan penyelesaian persamaan. Jadi, operasi ekuivalen adalah operasi yang mengubah fungsi f(x) menjadi fungsi f₁(x) dan dengan cara yang sama mengubah fungsi g(x) menjadi g₁(x), tetapi kesamaan berikut tetap berlaku:

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Operasi ekuivalen pertama dan paling sederhana pada persamaan (bukan pada pertidaksamaan!) adalah menukar ruas kiri dan ruas kanan. Tentu jelas bahwa jika berlaku

$$f(x)=g(x),$$

kesamaan dengan ruas yang ditukar juga berlaku:

$$g(x)=f(x).$$

Persamaan dibahas lebih lengkap dalam artikel Pengertian persamaan.

Menambah

Contoh paling sederhana adalah menambahkan suatu bentuk aljabar ke kedua ruas persamaan. Operasi ekuivalen selalu kita terapkan pada kedua ruas persamaan. Misalkan kita mempunyai persamaan berikut:

$$x-3=1.$$

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menambahkan bilangan tiga ke kedua ruas. Di sini, operasi yang dilakukan kita tulis di belakang garis miring pada baris tempat operasi itu dimulai. Penulisan /+3 berarti “kedua ruas ditambah 3”:

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Secara umum, jika kita mempunyai dua fungsi f(x) dan g(x), kita dapat menambahkan fungsi ketiga h(x) ke kedua ruas tanpa mengubah himpunan penyelesaian persamaan.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Seperti terlihat, yang ditambahkan tidak harus bilangan, bisa juga fungsi:

$$x=2x+6$$

Biasanya kita ingin variabel berada di ruas kiri. Caranya, kedua ruas kita tambah −2x, atau dengan kata lain kita kurangi 2x.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Tentu saja kita juga boleh menambahkan pecahan jika itu membantu.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Kita tambahkan setengah, dan hasilnya langsung diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Penjumlahan pada persamaan biasanya kamu gunakan saat ingin “memindahkan” suatu bentuk dari satu ruas ke ruas lainnya (pindah ruas). Jika kamu mempunyai persamaan

$$3=2x+17,$$

bagaimana cara memindahkan bentuk yang memuat variabel, yaitu 2x, ke ruas kiri? Cukup tambahkan −2x ke kedua ruas. Dengan begitu, di ruas kanan 2x berubah menjadi nol, karena 2x − 2x = 0. Di ruas kiri muncul −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Mengalikan

Persamaan juga dapat kita kalikan dengan suatu fungsi. Satu-satunya syarat adalah fungsi itu tidak boleh bernilai nol. Persamaan tidak boleh dikalikan dengan nol, juga tidak dengan fungsi yang dapat disederhanakan menjadi nol, misalnya f(x) = x − x. Jadi, jika kita mempunyai persamaan

$$3x=7,$$

kedua ruasnya dapat kita kalikan dua (ditulis /·2):

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Langkah ini memang kurang berguna. Perkalian biasanya dipakai, misalnya, saat kamu perlu menghilangkan pecahan:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Jika persamaan ini kita kalikan dengan penyebut pecahan di ruas kanan, bentuk 5x dapat dicoret berkat sifat-sifat pecahan.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Sekarang pecahan kita kalikan dengan 5x. Bentuk 5x pindah ke pembilang, lalu 5x dapat dicoret karena muncul di pembilang maupun di penyebut.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

Di awal bagian ini dikatakan bahwa kita tidak boleh mengalikan dengan nol. Barusan kita mengalikan dengan 5x. Bentuk ini memuat variabel, dan jika variabel itu bernilai nol, seluruh bentuk juga bernilai nol. Artinya, kita mengalikan dengan nol. Lalu bagaimana?

Masalah ini diatasi dengan menentukan syarat agar operasi tersebut boleh dilakukan. Di sini kita harus menuliskan bahwa perkalian dengan 5x hanya boleh dilakukan jika x tidak sama dengan nol. Namun, perhatikan lagi persamaan yang kita kalikan. Bentuk 5x sudah ada di sana, yaitu di penyebut pecahan. Apa artinya? Kita tidak boleh membagi dengan nol, sehingga daerah asal fungsi $\frac{2}{5x}$ sendiri sudah tidak memuat x yang sama dengan nol.

Jadi, sekali lagi: persamaan memuat pecahan dengan 5x di penyebutnya. Karena kita tidak boleh membagi dengan nol, persamaan hanya bermakna jika x tidak sama dengan nol. Karena itu, seluruh persamaan bisa kita kalikan dengan 5x tanpa khawatir. Syarat yang diperlukan sudah dijamin oleh daerah asal fungsi di penyebut.

Mengalikan dengan bentuk yang lebih rumit

Sekarang catatan penting: jika persamaan dikalikan dengan suatu bentuk, kita harus selalu mengalikan seluruh ruas kanan dan seluruh ruas kiri. Sebagai contoh, ambil persamaan ini:

$$x+2=x-4$$

Jika kedua ruasnya ingin kita kalikan dua, kita harus mengalikan seluruh ruas, seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Jika tanda kurung tidak dituliskan, hasilnya salah:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Kamu lihat bahwa hasilnya berbeda dengan sebelumnya. Begitu pula jika kamu mengalikan dengan bentuk yang lebih rumit: seluruh persamaan harus dikalikan. Sebagai contoh, ambil persamaan

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Persamaan ini kita kalikan dengan x + 3 untuk menghilangkan variabel di penyebut ruas kanan.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Sekarang pecahannya dapat disederhanakan dengan mencoret x + 3:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Sekarang ruas kiri persamaan masih bisa kita jabarkan. Terakhir, kedua ruas kita kurangi 2 untuk “memindahkan” bilangan 2 ke ruas kiri, sehingga ruas kanan menjadi nol.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Membagi

Sama seperti mengalikan, kita juga boleh membagi persamaan, dengan batasan yang sama: kita tidak boleh membagi dengan nol. Pembagian sebenarnya mudah diubah menjadi perkalian. Membagi persamaan dengan bentuk w sama saja dengan mengalikannya dengan pecahan 1/w. Pembagian sering dipakai dalam contoh seperti ini:

$$12x=7$$

Dengan persamaan seperti ini tidak banyak lagi yang bisa dilakukan. Kita hanya bisa membagi kedua ruas dengan 12 (ditulis /:12), sehingga diperoleh nilai x.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Hasilnya sama jika persamaan kita kalikan dengan 1/12:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Memangkatkan

Saat mengubah persamaan, kita juga dapat menggunakan perpangkatan, tetapi dengan batasan tertentu. Pertama, kita segarkan dulu ingatan tentang perpangkatan. Apakah kesamaan ini benar?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Jika suatu bilangan kamu kuadratkan, lalu kamu tarik akar kuadratnya, apakah kamu kembali memperoleh bilangan semula? Ini pertanyaan menjebak, dan jawabannya: tidak selalu. Bayangkan kamu menyubstitusikan bilangan negatif untuk x, misalnya minus tiga:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Terlihat bahwa kesamaan itu tiba-tiba tidak berlaku. Jika bilangan negatif dikuadratkan, hasilnya bilangan positif. Akan tetapi, jika dari bilangan positif kita tarik akarnya, hasilnya kembali bilangan positif. Kapan kesamaan ini berlaku? Jika kita tahu bahwa kita hanya bekerja dengan bilangan positif, atau tepatnya bilangan nonnegatif. Jadi, persamaan boleh kita kuadratkan jika kita tahu bahwa kita bekerja dengan bilangan positif.

Misalnya, dalam geometri kita sering menghitung persamaan yang memuat panjang ruas garis. Di sini kita boleh memangkatkan tanpa khawatir, karena panjang tidak mungkin negatif. Saat memangkatkan atau menarik akar pun berlaku aturan bahwa seluruh persamaan harus dipangkatkan. Contohnya:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Misalkan kita hanya bekerja dengan bilangan positif. Karena itu, kedua ruas persamaan boleh kita kuadratkan (ditulis /²):

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Kita memperoleh persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan cara-cara yang dijelaskan dalam artikel tersebut.

Bagaimana menyelesaikan persamaan yang perlu dikuadratkan, tetapi kamu tidak yakin apakah hanya bekerja dengan bilangan positif? Kuadratkan saja, lalu lakukan pemeriksaan. Pengkuadratan dapat menghasilkan nilai yang bukan penyelesaian persamaan semula. Contohnya:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Sekarang persamaan ini kita kuadratkan:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Sekali lagi kita memperoleh persamaan kuadrat. Kita selesaikan dengan cara yang sesuai, misalnya dengan pemfaktoran (langkah lengkapnya ada di artikel yang ditautkan):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Terlihat bahwa hasil yang satu adalah 1 dan yang lain 4. Akan tetapi, kita tahu bahwa kita telah melakukan operasi yang tidak ekuivalen, sehingga masih harus melakukan pemeriksaan. Kedua nilai kita substitusikan ke persamaan semula untuk mengetahui mana yang merupakan penyelesaian persamaan semula. Pertama, kita substitusikan 1:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Dari pemeriksaan ini kita tahu bahwa 1 bukan penyelesaian persamaan semula (akar palsu). Bagaimana dengan 4?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Bilangan 4 adalah penyelesaian persamaan semula. Kita sudah menemukan hasilnya.