Sifat-sifat sinus, kosinus, tangen, dan kotangen

Sinus dan kosinus adalah fungsi trigonometri dasar.

Sinus

Sinus sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi depan terhadap panjang sisi miring pada segitiga siku-siku.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi depan}}{\text{Panjang sisi miring}}$$

Grafik fungsi sinus berupa kurva yang disebut kurva sinus. Grafiknya dapat kamu lihat pada gambar berikut:

Sinus adalah fungsi periodik dengan periode terkecil 2π. Sifat-sifat lainnya:

• Daerah asalnya adalah himpunan semua bilangan real.
• Daerah hasilnya adalah interval [−1, 1].
• Sinus mencapai maksimum di tak berhingga banyak titik. Tepatnya, maksimum “pertama” dicapai di titik $x=\frac{\pi }{2}$, dan karena sinus fungsi periodik, maksimum juga dicapai di setiap titik $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, dengan k bilangan bulat. Nilai maksimumnya 1.
• Demikian pula untuk minimum: sinus mencapai minimum di titik-titik $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, dengan k bilangan bulat, dan nilai minimumnya −1.
• Sinus adalah fungsi ganjil dan fungsi terbatas.

Kosinus

Kosinus sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi samping terhadap panjang sisi miring pada segitiga siku-siku. Jadi, jika kita menghitung kosinus sudut alfa dengan kalkulator, kita memperoleh nilai hasil bagi

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{panjang sisi samping}}{\text{panjang sisi miring}}.$$

Grafik fungsi kosinus berupa kurva yang disebut kurva kosinus. Grafiknya dapat kamu lihat pada gambar berikut:

Kosinus adalah fungsi periodik dengan periode terkecil 2π. Sifat-sifat lainnya:

• Daerah asalnya adalah himpunan semua bilangan real.
• Daerah hasilnya adalah interval [−1, 1].
• Kosinus mencapai maksimum di tak berhingga banyak titik. Tepatnya, maksimum “pertama” dicapai di titik x = 0, dan karena kosinus fungsi periodik, maksimum juga dicapai di setiap titik 2kπ, dengan k bilangan bulat. Nilai maksimumnya 1.
• Demikian pula untuk minimum: kosinus mencapai minimum di titik-titik π + 2kπ, dengan k bilangan bulat, dan nilai minimumnya −1.
• Kosinus adalah fungsi genap dan fungsi terbatas.

Tangen

Tangen sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi depan terhadap panjang sisi samping pada segitiga siku-siku. Tangen dilambangkan dengan tan; di beberapa negara Eropa juga dengan tg.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi depan}}{\text{Panjang sisi samping}}$$

Grafik fungsi ini berupa kurva tangen:

Tangen berbeda dari fungsi-fungsi sebelumnya terutama dalam periodenya, yang bukan lagi 2π, melainkan hanya π. Sifat-sifat lainnya:

• Daerah asalnya adalah himpunan

$$D_{tan}=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Daerah hasilnya adalah himpunan semua bilangan real.
• Tangen tidak mempunyai maksimum maupun minimum dan tidak terbatas.
• Tangen adalah fungsi ganjil.

Kotangen

Kotangen sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi samping terhadap panjang sisi depan. Kotangen biasanya dilambangkan dengan cot atau cotan.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi samping}}{\text{Panjang sisi depan}}$$

Grafik fungsi ini berupa kurva kotangen:

Sifat-sifat lainnya:

• Periodenya juga π, seperti tangen.
• Daerah asalnya adalah himpunan

$$D_{cot}=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Daerah hasilnya adalah himpunan semua bilangan real.
• Kotangen tidak mempunyai maksimum maupun minimum dan tidak terbatas.
• Kotangen adalah fungsi ganjil.

Hubungan antara sinus dan kosinus

Fungsi-fungsi trigonometri saling berkaitan erat. Jika kamu melihat grafik fungsi sinus dan kosinus secara bersamaan, kamu akan melihat bahwa keduanya tidak banyak berbeda: yang satu hanya sedikit bergeser terhadap yang lain.

Jadi, jika argumen fungsi sinus selalu ditambah π/2, kita memperoleh fungsi kosinus:

Sebaliknya, jika argumen kosinus dikurangi π/2, kita memperoleh sinus.

Jadi, kita dapat menuliskan rumus-rumus berikut:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Menyatakan tangen dan kotangen

Fungsi tangen mudah dinyatakan dengan sinus dan kosinus. Kita cukup mengingat apa itu tangen: perbandingan panjang sisi depan terhadap panjang sisi samping. Kita gunakan segitiga berikut:

Berapakah tangen sudut beta?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Bagaimana kita dapat menyatakan pembilang atau penyebutnya? Berapa panjang sisi b dan panjang sisi c? Kita tahu bahwa sinus sudut beta sama dengan:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Dari rumus ini kita nyatakan |b|:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Kosinus sudut beta sama dengan:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Kita nyatakan |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Sekarang panjang sisi b dan c sudah dinyatakan dengan fungsi sinus dan kosinus. Hasil-hasil ini kita substitusikan ke persamaan tangen semula:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Dari pembilang dan penyebut kita dapat mencoret |a|, sehingga diperoleh rumus akhir:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Jadi, tangen dapat ditulis sebagai hasil bagi sinus dan kosinus. Tanpa penurunan, kita sebutkan juga bahwa kotangen dapat ditulis sebagai pecahan kebalikannya, yaitu kosinus dibagi sinus.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Hubungan antara tangen dan kotangen

Seperti sinus dan kosinus yang mirip satu sama lain, tangen dan kotangen juga mirip. Perhatikan kedua grafik dalam satu gambar:

Bagaimana mengubah kurva tangen menjadi kurva kotangen? Kurva kotangen bergeser sejauh π/2, jadi kita mulai dari situ:

Sekarang kita sudah lebih dekat ke kotangen, tetapi arah kurvanya masih salah. Kotangen turun pada interval-interval tertentu, sedangkan kurva yang digeser ini naik. Hal ini kita atasi dengan mengubah tanda variabel x:

Jadi, kita dapat menuliskan:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Nilai trigonometri sudut istimewa

Untuk beberapa sudut yang “bagus”, sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mempunyai nilai yang bagus pula. Berikut ringkasannya:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$