Sudut berarah

Kaki-kaki sudut membagi bidang menjadi dua sudut tak berarah, satu lebih besar dan satu lebih kecil (kecuali jika keduanya sama besar). Agar jelas sudut mana yang sedang dibicarakan, digunakan pengertian sudut berarah.

Mengapa sudut berarah diperlukan

Perhatikan gambar berikut, yang menunjukkan sudut AVB.

Pertanyaannya, sudut mana yang dimaksud? Secara intuitif, kamu mungkin mengira yang dimaksud adalah sudut yang lebih kecil, tetapi bisa saja yang dimaksud adalah sudut yang lebih besar. Gambar berikut menunjukkan dua sudut berbeda yang dibentuk oleh dua sinar garis yang sama:

Tanpa informasi tambahan, kita tidak dapat menentukan apakah sudut AVB yang dimaksud adalah sudut alfa atau beta. Agar jelas sudut mana yang sedang dibicarakan, muncullah pengertian sudut berarah.

Arah positif dan arah negatif

Jadi, sudut berarah membantu kita menentukan sudut mana yang dimaksud. Untuk itu, ada dua hal yang perlu ditentukan. Pertama, kaki-kaki sudut harus disebut dalam urutan yang benar. Karena itu, sudut AVB berbeda dengan sudut BVA, walaupun kaki-kakinya sama, yaitu sinar garis VA dan VB. Pada sudut AVB, sinar garis VA disebut sisi awal sudut berarah dan sinar garis VB disebut sisi akhir sudut berarah. Titik persekutuannya, V, disebut titik sudut dari sudut berarah.

Baik, sekarang kita tahu bahwa urutan kaki sudut itu penting. Namun, kita masih belum tahu ke arah mana kita harus berputar untuk memperoleh sudut AVB. Sudut AVB dapat terbentuk dengan dua arah putaran, seperti terlihat pada gambar berikut:

Sisi awal sudut adalah sinar garis VA. Dari sini, sudut dapat dibentuk ke dua arah, yang pada gambar ditunjukkan dengan panah hijau dan panah-panah merah. Kedua arah ini dapat dinamai seperti biasa menurut jarum jam: arah hijau berlawanan arah jarum jam, sedangkan arah merah searah jarum jam.

Dalam matematika, kedua arah ini diberi nama lain, yaitu arah positif dan arah negatif. Arah positif sesuai dengan panah hijau, yaitu berlawanan arah jarum jam. Arah negatif sesuai dengan panah merah, yaitu searah jarum jam.

Gambar berikut menunjukkannya dengan jelas:

Apa itu sudut berarah

Sudut berarah sendiri adalah pasangan berurutan dua sinar garis yang titik pangkalnya sama. Jadi, sudut berarah dapat ditulis sebagai pasangan sinar garis, misalnya seperti ini:

$$⟨\overrightarrow{VA},\overrightarrow{VB}⟩,$$

tetapi penulisan yang lebih singkat adalah $\widehat{AVB}$. Selain itu, jika sinar garis VA dan VB berbeda, sudut $\widehat{AVB}$ dan $\widehat{BVA}$ juga berbeda.

Sekarang kita definisikan besar dasar sudut berarah. Besar dasar sudut berarah $\widehat{AVB}$ sama dengan besar sudut tak berarah yang terbentuk jika sisi awal VA diputar ke posisi sisi akhir VB dalam arah positif, yaitu berlawanan arah jarum jam.

Besar dasar sudut selalu terletak pada interval [0°, 360°). Perhatikan bahwa interval ini terbuka di kanan. Besar dasar sudut tidak mungkin sama dengan 360 derajat. Sudut ini berimpit dengan sudut nol derajat, sehingga sebagai pengganti 360 derajat kita menulis nol derajat. Jika kita menggunakan ukuran radian, sudutnya terletak pada interval [0, 2π).

Selain besar dasar, ada juga besar sudut berarah saja. Definisinya sama, hanya saja besarnya boleh lebih dari besar dasar. Jika saat membentuk sudut kita berputar satu putaran penuh lalu terus memutar sisi awal, kita dapat membentuk sudut yang besarnya lebih dari 360 derajat. Jika kita berputar satu setengah putaran, diperoleh sudut yang besarnya 360 + 180 = 540 derajat. Ini adalah besar sudut berarah yang sah. Meskipun demikian, sudut ini identik dengan sudut 180 derajat.

Setiap besar sudut berarah seperti ini mudah diubah menjadi besar dasar: bagilah besarnya dengan 360 (pembagian bilangan bulat), lalu sisa pembagiannya adalah besar dasar. Mari kita ubah 540 derajat tadi menjadi besar dasar:

$$540:360=1(\text{sisa }180)$$

Begitu pula untuk besar sudut yang lain. Misalnya, untuk sudut yang besarnya 750, 1080, dan 2000 derajat, diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{sisa }30)\\ 1080:360=3& & (\text{sisa }0)\\ 2000:360=5& & (\text{sisa }200)\end{array}$$

Besar dasar sudut-sudut tersebut adalah 30, 0, dan 200 derajat. Jika kita menghitung dalam radian, pembaginya adalah 2π.