Jumlah sudut dalam segi banyak

Jika semua sudut dalam sembarang segitiga dijumlahkan, hasilnya selalu 180°. Tidak peduli segitiganya lancip, tumpul, atau sekecil perangko. Lalu, bagaimana dengan segi empat, segi lima, atau segi enam? Berapa jumlah sudut-sudutnya?

Membagi segi banyak menjadi segitiga

Ambil segi lima ABCDE, lalu dari titik sudut A tarik diagonal ke semua titik sudut yang belum terhubung dengannya oleh sisi. Diagonal tersebut adalah AC dan AD. Kedua diagonal ini membagi segi lima menjadi tiga segitiga:

Perhatikan sudut-sudut yang berwarna. Setiap sudut segitiga terletak di salah satu titik sudut segi lima, dan bersama-sama sudut-sudut itu mengisi semua sudut dalam segi lima, tidak ada yang lebih dan tidak ada yang kurang. Di titik sudut A bertemu sudut dari ketiga segitiga, di C dan D hanya dari dua segitiga. Jadi, jumlah sudut segi lima sama dengan jumlah sudut tiga segitiga, yaitu 3 · 180°.

Hal yang sama berlaku untuk setiap segi banyak konveks. Dari satu titik sudut, diagonal ditarik ke semua titik sudut lain kecuali dua titik sudut yang bersebelahan, sehingga segi-n terbagi menjadi n − 2 segitiga. Jadi, jumlah sudut dalam segi-n adalah

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Rumus ini juga berlaku untuk segi banyak yang tidak konveks, yaitu segi banyak yang salah satu sudut dalamnya lebih dari 180°. Segi banyak seperti ini juga dapat dibagi menjadi segitiga, hanya saja diagonalnya tidak harus berpangkal di satu titik sudut yang sama.

Segi empat memiliki empat titik sudut, jadi kita substitusikan n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Hasil ini juga cocok untuk persegi: keempat sudut siku-sikunya berjumlah 4 · 90° = 360°.

Pada segi lima, n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Dan pada segi enam, n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Setiap tambahan satu titik sudut menambah satu segitiga, dan jumlah sudutnya bertambah 180°.

Mengapa bukan n segitiga?

Segi banyak juga dapat dipotong dengan cara lain. Kita pilih titik S di dalamnya, lalu hubungkan dengan semua titik sudut. Segi lima pun terbagi menjadi lima segitiga. Kesimpulan yang menggoda adalah jumlah sudutnya 5 · 180°. Namun, kesimpulan itu salah.

Sudut-sudut segitiga di titik S tidak termasuk sudut dalam segi lima. Bersama-sama, sudut-sudut itu membentuk sudut satu putaran 360°, dan sudut ini harus dikurangkan:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Hasilnya sama dengan sebelumnya. Hasil yang sama juga diperoleh untuk setiap segi-n konveks, karena 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Segi banyak beraturan

Pada segi banyak beraturan, semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar. Besar satu sudut diperoleh dengan membagi jumlah semua sudut dengan banyaknya sudut, yaitu n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Setiap sudut segi lima beraturan besarnya 540°:5 = 108°, sedangkan pada segi enam beraturan 720°:6 = 120°.

Lebah membangun sarang dari segi enam beraturan. Sarang lebah tersusun dari segi enam tanpa celah sedikit pun, karena di setiap titik sudut bertemu tiga segi enam yang sudut-sudutnya berjumlah

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

yaitu tepat satu putaran penuh.

Dengan segi lima beraturan, hal ini tidak mungkin: tiga sudut 108° berjumlah 324°, sehingga masih tersisa celah, sedangkan empat sudut berjumlah 432°, dan itu sudah terlalu banyak. Cara menghitung luas segi banyak beraturan dapat kamu temukan di artikel luas segi-n beraturan.

Jumlah sudut luar adalah 360°

Sudut luar terbentuk jika salah satu sisi segi banyak diperpanjang melewati titik sudut. Sudut luar adalah sudut antara perpanjangan sisi itu dan sisi berikutnya. Bayangkan kamu berjalan mengelilingi segi lima di sepanjang tepinya. Di setiap titik sudut, kamu berbelok sebesar sudut luarnya. Ketika kembali ke titik awal, kamu menghadap ke arah yang sama seperti di awal, jadi kamu sudah berputar satu kali penuh, yaitu 360°.

Jam di sebelah kanan menunjukkan berapa besar panah sudah berputar seluruhnya.

Hasil yang sama diperoleh dengan perhitungan. Sudut dalam dan sudut luar di satu titik sudut saling berpelurus, jadi jumlahnya 180°. Untuk n titik sudut, jumlah seluruhnya n · 180°. Dari jumlah itu, (n − 2) · 180° adalah sudut dalam, sehingga untuk sudut luar tersisa

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Banyaknya titik sudut tidak berpengaruh. Jumlah sudut luar segi banyak konveks selalu 360°, baik pada segitiga maupun pada segi seratus.

Lihat juga

• Segitiga
• Luas segi-n beraturan
• Sudut
• Kekongruenan segitiga