Ukuran radian

Radian — seperti derajat — adalah satuan untuk mengukur besar sudut. Radian didefinisikan pada lingkaran satuan, dan besarnya sama dengan sudut pusat yang menghadap busur yang panjangnya sama dengan jari-jari busur tersebut.

Definisi

Untuk mendefinisikan ukuran radian, kita memerlukan lingkaran satuan. Pada lingkaran ini kita letakkan dua titik A dan B sehingga busur di antara keduanya panjangnya satu, artinya panjang busur sama dengan jari-jari lingkaran. Jika pusat lingkaran kita beri nama O, sudut AOB besarnya tepat satu radian.

Ruas garis AO adalah jari-jari lingkaran dan diberi warna merah. Garis merah kedua, yaitu busur AB, juga harus sama panjang. Yang penting, yang kita perhatikan bukan jarak langsung titik A dan B, jadi bukan ruas garis AB, melainkan panjang busur tersebut.

Berapa besar satu radian dalam derajat? Kira-kira 57° 17′ 45′′. Nilai eksaknya tidak dapat dituliskan sebagai bilangan desimal. Lalu, apa gunanya satuan seperti ini?

Menghitung dengan radian dalam praktik

Pertama, kita jawab pertanyaan berapa radian yang sesuai dengan satu lingkaran penuh, artinya berapa radian sama dengan 360 derajat. Kita tahu bahwa panjang busur untuk satu radian sama dengan jari-jari lingkaran. Berapa banyak busur seperti itu yang dapat disusun di sepanjang lingkaran? Panjang seluruh lingkaran (yaitu kelilingnya) adalah

$$K=2\pi r.$$

Panjang busur kita adalah r, jadi untuk mengetahui berapa kali busur tersebut muat pada lingkaran, kita harus membagi K / r, sehingga diperoleh:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Jadi, di sepanjang lingkaran dapat disusun 2π busur seperti itu. Bilangan ini cukup bagus. Kita dapat menuliskan bahwa

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{dan}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Sering kali satuan rad tidak ditulis, dan kita cukup menulis sudut yang besarnya, misalnya, 2π.

Gambar berikut menunjukkan tiga sudut yang masing-masing besarnya satu radian, yaitu sudut alfa, beta, dan gama. Terlihat bahwa jumlah ketiganya hampir 180 derajat. Namun, untuk 180 derajat diperlukan π radian, dan nilai π kira-kira 3,1415…, jadi masih kurang sedikit.

Konversi derajat ke radian dan sebaliknya

Sebagian besar alat dan program yang menghitung fungsi trigonometri secara bawaan menggunakan radian. Hal ini sedikit merepotkan jika sudutnya diberikan dalam derajat. Ada dua pilihan: jika bisa, ubah pengaturan alat agar menghitung dalam derajat, atau ubah derajat menjadi radian.

Misalnya, mesin pencari Google memiliki kalkulator bawaan, sehingga kamu dapat menghitung, misalnya, nilai sinus. Namun, secara bawaan Google menggunakan radian. Jika kita mencoba menghitung sin(30), hasilnya bukan 0,5 yang benar, karena Google menganggapnya tiga puluh radian, bukan tiga puluh derajat. Namun, jika di belakang bilangan kita tambahkan kata “degrees” (bahasa Inggris untuk “derajat”), hasilnya sudah benar: sin(30 degrees). Kebanyakan kalkulator memiliki dua mode, yang satu menghitung dalam derajat dan yang lain dalam radian. Biasanya mode ini dipilih dengan tombol bertuliskan rad dan deg. Rad adalah singkatan dari radian, sedangkan deg singkatan dari degree (derajat).

Jika tidak ada pilihan lain, kamu harus mengubah derajat menjadi radian atau sebaliknya. Kita mulai dengan yang pertama: konversi derajat ke radian. Kita sudah tahu bahwa 180° = π rad. Kita ingin mengetahui berapa radian yang sesuai dengan satu derajat, jadi kedua ruas persamaan kita bagi dengan 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Sekarang kita tahu berapa radian satu derajat itu. Jika kita perlu menghitung, misalnya, tiga puluh derajat, pecahan ini kita kalikan dengan tiga puluh:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Begitu pula untuk besar sudut yang lain.

Sekarang kasus sebaliknya, yaitu konversi radian ke derajat. Kita kembali berangkat dari kesamaan 180° = π rad. Jika kita mempunyai 2π radian, derajatnya dua kali lipat, yaitu 360. Sebaliknya, jika hanya setengah π radian, derajatnya setengahnya, yaitu 90. Jadi, pertama kita bagi nilai dalam radian dengan π untuk mengetahui sudut tersebut berapa kali 180 derajat. Kemudian, hasilnya kita kalikan dengan 180, dan diperoleh sudut dalam derajat. Jadi, untuk sudut yang besarnya 3π/2 radian, setelah dibagi diperoleh:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Hasil ini kita kalikan dengan 180, dan diperoleh sudut dalam derajat: 3/2 · 180 = 270. Untuk dua radian, diperoleh:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Hubungan dasar antara nilai dalam radian dan dalam derajat dinyatakan oleh rumus berikut (rad adalah nilai dalam radian, deg adalah nilai dalam derajat):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Sejarah

Konsep radian kemungkinan besar pertama kali dikemukakan oleh Roger Cotes pada tahun 1714. Saat itu satuannya belum bernama “radian”, tetapi definisi dan sifat-sifat lainnya sudah sama. Istilah “radian” pertama kali muncul secara tertulis pada 5 Juni 1873 dalam artikel karya James Thomson. Satuan ini juga sempat diusulkan bernama “radial” atau hanya “rad”. (Sumber: Wikipedia)

Tabel konversi dasar

Beberapa sudut cukup sering digunakan. Tabel berikut memuat nilainya dalam derajat beserta padanannya dalam radian:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$