방향을 정한 각
각의 두 변은 평면을 방향이 없는 두 각, 즉 (두 각이 같지 않다면) 큰 각과 작은 각으로 나눈다. 어느 각을 말하는지 분명히 하려고 방향을 정한 각이라는 개념을 쓴다.
왜 방향을 정한 각이 필요할까
각 AVB를 표시한 다음 그림을 보자.
문제는 어느 각을 말하느냐는 것이다. 아마 작은 각을 말한다고 생각했겠지만, 큰 각을 말할 수도 있다. 다음 그림은 같은 두 반직선이 이루는 서로 다른 두 각을 보여 준다.
다른 정보가 없으면 각 AVB라고 했을 때 알파를 말하는지 베타를 말하는지 정할 수 없다. 어떤 각을 말하는지 서로 분명히 하려고 방향을 정한 각이라는 개념이 생겼다.
양의 방향과 음의 방향
방향을 정한 각은 어느 각을 말하는지 정하는 데 도움이 된다. 이를 위해 두 가지를 정해야 한다. 먼저 각의 변을 올바른 순서로 말해야 한다. 그래서 각 AVB와 BVA는 각의 변이 같은 반직선 VA와 VB인데도 서로 다르다. 각 AVB에서 반직선 VA를 방향을 정한 각의 시초선, 반직선 VB를 동경이라고 한다. 공통인 점 V는 방향을 정한 각의 꼭짓점이다.
좋다, 이제 각의 변의 순서가 중요하다는 것은 알았다. 하지만 각 AVB를 얻으려면 어느 방향으로 돌아야 하는지는 아직 모른다. 다음 그림처럼 각 AVB는 두 방향으로 생길 수 있기 때문이다.
시초선은 반직선 VA이다. 여기서 두 방향으로 각을 만들 수 있다. 그림에서는 초록 화살표와 빨간 화살표로 나타냈다. 두 방향은 흔히 시곗바늘을 기준으로 부른다. 초록 방향은 시계 반대 방향이고 빨간 방향은 시계 방향이다.
하지만 수학에서는 이 두 방향을 다르게 부른다. 양의 방향과 음의 방향이다. 양의 방향은 초록 화살표, 즉 시계 반대 방향이다. 음의 방향은 빨간 화살표, 즉 시계 방향이다.
다음 그림이 이를 한눈에 보여 준다.
방향을 정한 각이란
방향을 정한 각은 시작점이 같은 두 반직선의 순서쌍이다. 그래서 방향을 정한 각을 두 반직선의 쌍으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
더 짧게는
이제 방향을 정한 각의 기본 크기를 정의하자. 방향을 정한 각
기본 크기는 언제나 구간 [0°, 360°)에 있다. 이 구간은 오른쪽이 열려 있다는 것에 주의하자. 기본 크기는 360도가 될 수 없다. 360도인 각은 0도인 각과 겹치므로, 360도 대신 0도라고 쓴다. 호도법으로 생각하면 각은 구간 [0, 2π)에 있다.
기본 크기 말고 그냥 방향을 정한 각의 크기도 있다(고등학교 교과서의 일반각). 정의는 같지만, 이 크기는 기본 크기보다 클 수 있다. 각을 만들면서 한 바퀴를 다 돈 뒤에도 시초선을 계속 돌리면 360도보다 큰 각을 만들 수 있기 때문이다. 한 바퀴 반을 돌면 크기가 360 + 180 = 540도인 각을 얻는다. 이것도 방향을 정한 각의 올바른 크기이다. 하지만 이 각은 크기가 180도인 각과 같다.
이런 방향을 정한 각의 크기는 쉽게 기본 크기로 바꿀 수 있다. 크기를 360으로 나누어 몫을 정수로 구하고, 그 나머지를 기본 크기로 삼으면 된다. 앞의 540도를 기본 크기로 바꾸어 보자.
다른 크기도 마찬가지이다. 예를 들어 크기가 750도, 1080도, 2000도인 각은 다음과 같다.
이 각들의 기본 크기는 30도, 0도, 200도이다. 라디안으로 계산할 때는 2π로 나눈다.
목차: 각, 각의 이등분선 작도하기, 크기가 같은 각의 작도, 호도법, 방향을 정한 각, 다각형의 내각의 합, 도로 경사를 각으로 바꾸기