Góc lượng giác

Hai cạnh của một góc chia mặt phẳng thành hai góc không định hướng, một góc lớn hơn và một góc nhỏ hơn (nếu hai góc không bằng nhau). Để biết đang nói đến góc nào, người ta đưa ra khái niệm góc định hướng, trong sách giáo khoa gọi là góc lượng giác.

Vì sao cần góc lượng giác

Xét hình sau, trên đó có góc AVB.

Câu hỏi đặt ra là: ta đang nói đến góc nào? Có lẽ bạn đã ngầm hiểu đó là góc nhỏ hơn, nhưng cũng hoàn toàn có thể nói đến góc lớn hơn. Hình sau vẽ hai góc khác nhau tạo bởi cùng hai tia:

Nếu không có thêm thông tin, ta không thể biết kí hiệu góc AVB chỉ góc alpha hay góc beta. Để thống nhất đang nói đến góc nào, người ta đưa ra khái niệm góc lượng giác.

Chiều dương và chiều âm

Góc lượng giác giúp chỉ rõ góc nào đang được xét. Muốn vậy cần quy định hai điều. Trước hết, phải nêu các cạnh của góc theo đúng thứ tự. Như vậy góc AVB khác góc BVA, dù hai góc có cùng các cạnh là tia VA và tia VB. Với góc AVB, tia VA gọi là tia đầu, tia VB gọi là tia cuối của góc lượng giác. Điểm chung V gọi là đỉnh của góc lượng giác.

Như vậy thứ tự các cạnh là quan trọng. Nhưng ta vẫn chưa biết phải quay theo chiều nào để được góc AVB. Góc AVB có thể được tạo ra theo hai chiều, như hình sau:

Cạnh xuất phát của góc là tia VA. Từ đó có thể quay theo hai chiều, trên hình là mũi tên màu xanh lá và các mũi tên màu đỏ. Có thể gọi tên các chiều theo kim đồng hồ: chiều xanh lá là ngược chiều kim đồng hồ, chiều đỏ là cùng chiều kim đồng hồ.

Trong toán học, hai chiều này có tên gọi khác là chiều dương và chiều âm. Chiều dương ứng với mũi tên xanh lá, tức là ngược chiều kim đồng hồ. Chiều âm ứng với mũi tên đỏ, tức là cùng chiều kim đồng hồ.

Hình sau tóm tắt điều này:

Góc lượng giác là gì

Góc lượng giác là một cặp có thứ tự gồm hai tia chung gốc. Do đó có thể viết góc lượng giác dưới dạng cặp tia, chẳng hạn:

$$(VA,VB),$$

nhưng cách viết ngắn hơn là $\widehat{AVB}$. Ngoài ra, nếu hai tia VA và VB khác nhau thì hai góc $\widehat{AVB}$ và $\widehat{BVA}$ cũng khác nhau.

Bây giờ ta định nghĩa số đo cơ bản của góc lượng giác. Số đo cơ bản của góc lượng giác $\widehat{AVB}$ bằng số đo của góc không định hướng tạo ra khi quay tia đầu VA đến vị trí tia cuối VB theo chiều dương, tức là ngược chiều kim đồng hồ.

Số đo cơ bản luôn thuộc nửa khoảng [0°; 360°). Lưu ý nửa khoảng này mở ở bên phải: số đo cơ bản không thể bằng 360 độ. Góc 360 độ trùng với góc 0 độ, nên thay cho 360 độ ta viết 0 độ. Nếu dùng số đo radian thì số đo cơ bản thuộc nửa khoảng [0; 2π).

Ngoài số đo cơ bản còn có số đo của góc lượng giác nói chung. Nó được định nghĩa tương tự, chỉ khác là có thể lớn hơn số đo cơ bản. Khi tạo góc, nếu quay hết một vòng rồi vẫn tiếp tục quay tia đầu thì ta được góc lớn hơn 360 độ. Nếu quay một vòng rưỡi, ta được góc có số đo 360 + 180 = 540 độ. Đây là một số đo hợp lệ của góc lượng giác, nhưng góc này trùng với góc 180 độ.

Mỗi số đo như vậy đều dễ dàng đưa về số đo cơ bản: chia số đo cho 360 và lấy số dư làm số đo cơ bản. Thử đưa 540 độ về số đo cơ bản:

$$540:360=1(\text{dư }180)$$

Các số đo khác làm tương tự. Chẳng hạn với các góc 750, 1080 và 2000 độ, ta được:

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{dư }30)\\ 1080:360=3& & (\text{dư }0)\\ 2000:360=5& & (\text{dư }200)\end{array}$$

Các góc này có số đo cơ bản là 30, 0 và 200 độ. Nếu tính bằng radian thì chia cho 2π.