Số đo radian của góc

Radian, cũng giống như độ, là đơn vị đo góc. Radian được định nghĩa trên đường tròn lượng giác: một radian là số đo của góc ở tâm chắn cung có độ dài bằng bán kính.

Định nghĩa

Để định nghĩa số đo radian, ta cần đường tròn lượng giác. Trên đường tròn này lấy hai điểm A và B sao cho cung giữa chúng có độ dài bằng 1, tức là độ dài cung bằng bán kính của đường tròn. Nếu gọi tâm đường tròn là O thì góc AOB có số đo đúng bằng một radian.

Đoạn thẳng AO là bán kính của đường tròn, được tô màu đỏ. Đường màu đỏ thứ hai, tức cung AB, cũng phải dài đúng như vậy. Điều quan trọng là ở đây không xét khoảng cách giữa hai điểm A và B, tức là không xét đoạn thẳng AB, mà xét độ dài của cung.

Một radian bằng bao nhiêu độ? Xấp xỉ 57° 17′ 45′′. Giá trị chính xác không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Vậy đơn vị như thế có ích gì?

Tính toán với radian

Trước hết, ta trả lời câu hỏi: cả đường tròn ứng với bao nhiêu radian, tức là 360 độ bằng bao nhiêu radian? Ta biết cung ứng với một radian có độ dài đúng bằng bán kính của đường tròn. Có thể xếp bao nhiêu cung như thế lên cả đường tròn? Độ dài của cả đường tròn (tức chu vi) là

$$C=2\pi r.$$

Mỗi cung có độ dài r, nên để biết đường tròn chứa bao nhiêu cung như vậy, ta lấy chu vi : bán kính và được:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Vậy trên cả đường tròn xếp được 2π cung như thế. Đây là một con số khá đẹp. Do đó có thể viết

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{và}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Thông thường người ta bỏ luôn đơn vị rad và chỉ viết, chẳng hạn, góc có số đo 2π.

Hình sau đây vẽ ba góc có số đo một radian, đó là các góc alpha, beta và gamma. Tổng số đo của chúng gần bằng 180 độ. Nhưng vì 180 độ ứng với π radian và π xấp xỉ 3,1415… nên vẫn còn thiếu một chút.

Đổi độ sang radian và ngược lại

Phần lớn các thiết bị và chương trình tính hàm số lượng giác mặc định làm việc với radian. Điều này gây khó khăn một chút khi góc cho bằng độ. Có hai cách: nếu được thì chuyển thiết bị sang chế độ tính theo độ, hoặc đổi độ sang radian.

Chẳng hạn, công cụ tìm kiếm Google có tích hợp máy tính, có thể dùng để tính giá trị của hàm số sin. Nhưng máy tính này mặc định dùng radian, nên nếu tính sin(30), ta không được kết quả đúng 0,5, vì Google hiểu đó là 30 radian chứ không phải 30 độ. Tuy nhiên, nếu thêm chữ “degrees” (tiếng Anh nghĩa là “độ”) sau số thì kết quả sẽ đúng: sin(30 degrees). Phần lớn máy tính cầm tay có hai chế độ: một chế độ tính theo độ và một chế độ tính theo radian. Thường có phím hoặc chế độ ghi rad và deg. Rad là viết tắt của radian, deg là viết tắt của degree (độ).

Nếu không còn cách nào khác thì phải đổi độ sang radian hoặc ngược lại. Trước hết là đổi độ sang radian. Ta đã biết 180° = π rad. Để biết một độ bằng bao nhiêu radian, chia hai vế đẳng thức cho 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Bây giờ đã biết một độ bằng bao nhiêu radian. Nếu cần đổi, chẳng hạn, 30 độ, ta nhân phân số này với 30:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Các góc khác làm tương tự.

Bây giờ là trường hợp ngược lại, đổi radian sang độ. Lại xuất phát từ đẳng thức 180° = π rad. Nếu có 2π radian thì số độ gấp đôi, tức là 360. Ngược lại, nếu chỉ có một nửa π radian thì số độ cũng chỉ bằng một nửa, tức là 90. Vì vậy, trước hết chia giá trị radian cho π để biết góc gấp bao nhiêu lần 180 độ. Sau đó nhân kết quả với 180 và được góc tính bằng độ. Chẳng hạn, với góc 3π/2 radian, sau khi chia ta được:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Nhân kết quả này với 180, ta được góc tính bằng độ: 3/2 · 180 = 270. Với 2 radian, ta có:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Công thức sau thể hiện quan hệ cơ bản giữa số đo radian và số đo độ (rad là số đo radian, deg là số đo độ):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Lịch sử

Có lẽ người đầu tiên đưa ra khái niệm radian là Roger Cotes vào năm 1714. Khi đó đơn vị này chưa có tên “radian”, nhưng định nghĩa và các tính chất khác thì giống hệt. Thuật ngữ “radian” xuất hiện lần đầu trên giấy ngày 5 tháng 6 năm 1873 trong một bài viết của James Thomson. Đơn vị này cũng suýt được gọi là “radial” hoặc chỉ “rad”. (Nguồn: Wikipedia)

Bảng các giá trị đổi cơ bản

Một số góc được dùng khá thường xuyên, nên bảng sau cho số đo độ và số đo radian tương ứng:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{độ: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$