Радианна мярка на ъгъл

Радианът е – подобно на градуса – мерна единица за измерване на ъгли. Определя се върху единичната окръжност и големината му съответства на централния ъгъл на дъга, чиято дължина е равна на радиуса на дадената окръжност.

Определение

За да определим радианната мярка, ще ни трябва единичната окръжност. Върху тази окръжност нанасяме две точки A и B така, че дъгата, която образуват, да има дължина едно, т.е. дължината на дъгата да е равна на радиуса на тази окръжност. Ако центъра на окръжността означим с точката O, ъгълът AOB има мярка точно един радиан.

Отсечката AO е радиусът на окръжността, оцветена е в червено. Със същата дължина трябва да е и другата червена линия, дъгата AB. Важното е, че не ни интересува самото разстояние между точките A и B, т.е. не ни интересува отсечката AB, а именно дължината на тази дъга.

Колко градуса е един радиан? Приблизително 57° 17′ 45′′. Точната стойност не можем да пресметнем. Тогава възниква въпросът за какво служи такава единица.

Практическо пресмятане с радиани

Първо ще отговорим на въпроса колко радиана съответстват на цялата окръжност, т.е. колко радиана съответстват на 360 градуса. Знаем, че дължината на дъгата при радиана е точно радиусът на окръжността. Колко такива дъги можем да наредим по цялата окръжност? Цялата окръжност има дължина точно

$$C=2\pi r.$$

Нашата дъга има дължина r, така че за да разберем колко пъти дъгата се побира в окръжността, трябва да пресметнем C / r, с което получаваме:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Отговорът е, че по цялата окръжност можем да нанесем 2π такива дъги. Това вече е доста удобно число. Можем да запишем, че

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{и}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Често самата единица rad се пропуска и пишем просто ъгъл с мярка например 2π.

На следващата фигура са показани три ъгъла с мярка един радиан, това са ъглите алфа, бета и гама. Виждаш, че сборът на мерките им е почти 180 градуса. Тъй като обаче за 180 градуса ни трябват π радиана, а π е приблизително 3,1415…, до 180 градуса липсва още малко.

Превръщане от градуси в радиани и обратно

Повечето уреди и програми, които пресмятат тригонометрични функции, работят по подразбиране с радиани. Това е малък проблем, ако ъгълът ти е даден в градуси. Имаш две възможности: ако може, да превключиш уреда така, че да пресмята в градуси, или да превърнеш градусите в радиани.

Например интернет търсачката Google има вграден калкулатор, така че там можеш да пресметнеш например стойността на функцията синус. По подразбиране обаче работи с радиани, така че когато опитаме да пресметнем sin(30), не получаваме верния резултат 0,5, защото Google не го е разбрал като тридесет градуса, а като тридесет радиана. Ако обаче след числото добавим думата „degrees“ (което на английски означава „градус“), вече ще го пресметне правилно: sin(30 degrees). Повечето калкулатори имат два режима, единият работи в градуси, а другият в радиани. Обикновено това е под някакъв бутон с надпис rad и deg. Rad е съкращение от радиан, deg – от degree.

Ако няма друг начин, трябва да превърнем градусите в радиани или обратно. Започваме с първото: превръщане от градуси в радиани. Вече знаем равенството 180° = π rad. Искаме да знаем на каква част от радиана съответства един градус, затова разделяме равенството на 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Вече знаем колко радиана е един градус. Ако трябва да пресметнем например тридесет градуса, умножаваме тази дроб по тридесет:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

По подобен начин и за другите градуси.

Сега обратният случай, превръщане от радиани в градуси. Отново тръгваме от равенството 180° = π rad. Ако имаме 2π радиана, получаваме два пъти повече градуси, т.е. 360. Ако пък имаме само половин π радиана, получаваме наполовина по-малко градуси – 90. Първо разделяме стойността ни в радиани на числото π, с което разбираме какво кратно на 180 градуса е ъгълът. След това резултата умножаваме по 180 и имаме ъгъла в градуси. Така ако имаме ъгъл с мярка 3π/2 радиана, след деленето получаваме:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Този резултат умножаваме по 180 и имаме ъгъла в градуси: 3/2 · 180 = 270. Ако имаме два радиана, тогава получаваме:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Основната връзка между стойността в радиани и в градуси показва тази формула (rad е стойността в радиани, deg стойността в градуси):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

История

Понятието радиан вероятно е създал първи Роджър Коутс през 1714 г. Тогава единицата му още не се наричаше „радиан“, но останалите определения и свойства бяха идентични. Терминът „радиан“ за пръв път се появява на хартия на 5 юни 1873 г. в статия на Джеймс Томсън. Единицата все още можеше да се нарича „радиал“ или просто „рад“. (Източник: Wikipedia)

Таблица на основните съотношения

Някои ъгли се използват сравнително често, затова следващата таблица показва стойностите в градуси и техния еквивалент в радиани:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$