호도법

라디안은 도와 마찬가지로 각의 크기를 재는 단위이다. 단위원으로 정의하며, 1라디안은 반지름과 길이가 같은 호에 대한 중심각의 크기이다.

정의

호도법을 정의하려면 단위원이 필요하다. 이 원 위에 두 점 A와 B를 잡되, 두 점이 이루는 호의 길이가 1, 즉 호의 길이가 이 원의 반지름과 같게 한다. 원의 중심을 점 O라고 하면 각 AOB의 크기가 1라디안이다.

선분 AO는 원의 반지름이고 빨간색으로 칠해져 있다. 또 하나의 빨간 선인 호 AB도 길이가 같아야 한다. 중요한 것은 두 점 A와 B 사이의 거리, 즉 선분 AB가 아니라 이 호의 길이라는 점이다.

1라디안은 몇 도일까? 약 57° 17′ 45′′이다. 정확한 값을 유한한 자릿수로 나타낼 수는 없다. 그렇다면 이런 단위가 어디에 쓸모가 있을까?

라디안으로 계산하기

먼저 원 한 바퀴, 즉 360도가 몇 라디안인지 알아보자. 1라디안에 대응하는 호의 길이는 원의 반지름과 같다. 원 한 바퀴에 이런 호를 몇 개나 늘어놓을 수 있을까? 원 한 바퀴의 길이(즉 둘레)는 다음과 같다.

$$l=2\pi r.$$

이 호의 길이는 r이므로, 원 위에 호가 몇 개 들어가는지 알려면 둘레 / 반지름을 계산해야 한다. 그러면 다음을 얻는다.

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

즉 원 한 바퀴에 이런 호를 2π개 늘어놓을 수 있다. 꽤 깔끔한 수이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{이고}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

단위 rad는 생략하는 경우가 많아서, 예를 들어 그냥 “크기가 2π인 각”이라고 쓴다.

다음 그림에는 크기가 1라디안인 세 각 알파, 베타, 감마가 있다. 세 각의 크기를 합하면 거의 180도가 된다는 것을 알 수 있다. 하지만 180도가 되려면 π라디안이 필요하고, π의 근삿값은 3.1415…이므로 아직 조금 모자란다.

도를 라디안으로, 라디안을 도로 바꾸기

삼각함수를 계산하는 기기와 프로그램은 대부분 기본 설정에서 라디안을 쓴다. 각이 도로 주어졌을 때는 조금 곤란하다. 방법은 두 가지이다. 가능하면 기기를 도로 계산하도록 바꾸거나, 도를 라디안으로 바꾸는 것이다.

예를 들어 검색 엔진 Google에는 계산기가 들어 있어서 사인 함수의 값 등을 계산할 수 있다. 그런데 기본 설정이 라디안이라서 sin(30)을 계산하면 올바른 결과 0.5가 나오지 않는다. Google이 이를 30도가 아니라 30라디안으로 이해했기 때문이다. 하지만 수 뒤에 “degrees”(영어로 “도”)라는 낱말을 붙이면 sin(30 degrees)를 올바르게 계산해 준다. 계산기는 대부분 도로 계산하는 모드와 라디안으로 계산하는 모드의 두 가지가 있다. 보통 rad와 deg라고 쓰인 버튼으로 바꾼다. rad는 라디안(radian), deg는 도(degree)의 줄임말이다.

어쩔 수 없으면 도를 라디안으로, 또는 라디안을 도로 바꿔야 한다. 먼저 도를 라디안으로 바꾸는 방법이다. 180° = π rad라는 것은 이미 알고 있다. 1도가 몇 라디안인지 알고 싶으므로 이 등식을 180으로 나눈다.

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

이제 1도가 몇 라디안인지 안다. 예를 들어 30도를 계산하려면 이 분수에 30을 곱한다.

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

다른 각도 마찬가지이다.

이번에는 반대로 라디안을 도로 바꾸는 방법이다. 이번에도 등식 180° = π rad에서 출발한다. 2π라디안이면 두 배인 360도가 된다. 거꾸로 π의 절반만큼의 라디안이면 도도 절반인 90도가 된다. 그래서 먼저 라디안으로 나타낸 값을 π로 나누어 그 각이 180도의 몇 배인지 알아낸다. 그다음 그 값에 180을 곱하면 도로 나타낸 각이 된다. 예를 들어 크기가 3π/2라디안인 각이면, 먼저 π로 나누어 다음을 얻는다.

$$\frac{3\pi }{2}÷\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

이 결과에 180을 곱하면 도로 나타낸 각을 얻는다. 3/2 · 180 = 270이다. 2라디안이면 다음과 같다.

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114.59{\dots }^{\circ }$$

라디안으로 나타낸 값과 도로 나타낸 값의 기본 관계는 다음 공식과 같다(rad는 라디안으로 나타낸 값, deg는 도로 나타낸 값이다).

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

역사

라디안이라는 개념은 1714년 로저 코츠가 처음 생각해 낸 것으로 보인다. 그때는 아직 이 단위에 “라디안”이라는 이름이 없었지만, 정의와 성질은 지금과 같았다. “라디안”이라는 용어는 1873년 6월 5일 제임스 톰슨의 글에서 처음 문서로 등장했다. 이 단위는 “radial”이나 그냥 “rad”라고 불릴 수도 있었다.

기본 변환 관계표

자주 쓰는 각이 몇 가지 있으므로, 다음 표에 도로 나타낸 값과 그에 해당하는 라디안 값을 정리했다.

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$