Volume kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang bentuknya seperti cone es krim atau kerucut lalu lintas di jalan. Di bagian bawah ada alas berbentuk lingkaran, dan di bagian atas kerucut menyempit ke satu titik, yaitu titik puncak. Secara sederhana, volume kerucut menyatakan berapa banyak air yang dapat kita tuangkan ke dalam cone seperti itu.

Warna merah menandai jari-jari alas r, warna biru menandai tinggi kerucut t, yaitu jarak titik puncak ke alas. Tinggi ini tegak lurus terhadap alas. Pada kerucut biasa yang tidak miring, tinggi berakhir tepat di pusat alas, dan kerucut seperti ini disebut kerucut tegak.

Rumus volume kerucut

Jika kamu hanya mencari rumusnya, volume kerucut V dengan jari-jari alas r dan tinggi t dihitung dengan

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot t$$

Misalnya, kerucut dengan jari-jari alas r = 3 dan tinggi t = 10 memiliki volume

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Jika kamu tidak suka hasil yang masih memuat pi, kamu dapat menggantinya dengan nilai pendekatan 3,14:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Dari mana rumus ini berasal?

Rumusnya hampir sama dengan rumus volume tabung, hanya ada tambahan sepertiga. Volume tabung dengan jari-jari alas r dan tinggi t adalah

$$V_{\text{tabung}}=\pi \cdot r^2\cdot t$$

Sekarang bayangkan sebuah tabung dan sebuah kerucut dengan alas dan tinggi yang sama. Kerucut itu pas masuk ke dalam tabung, dan titik puncaknya menyentuh pusat alas atas tabung:

Sekilas terlihat bahwa kerucut lebih kecil, karena di sekelilingnya masih banyak ruang kosong di dalam tabung. Namun, seberapa kecil? Kita dapat mencobanya. Kerucut kita isi air, lalu airnya kita tuangkan ke tabung. Tabung hanya terisi sepertiga. Kerucut kita isi untuk kedua kalinya, dan tabung terisi dua pertiga. Baru kerucut air yang ketiga mengisi tabung sampai penuh:

Jadi, tabung memuat tepat tiga kerucut air, sehingga volume kerucut adalah sepertiga volume tabung:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{tabung}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot t$$

Tentu saja menuang air hanyalah percobaan, bukan bukti. Dari ember saja kamu tidak dapat mengetahui apakah hasilnya tepat sepertiga atau, misalnya, 0,31. Dengan integral tentu dapat dibuktikan bahwa hasilnya memang tepat sepertiga, tetapi materi itu baru dipelajari di perguruan tinggi.

Sepertiga yang sama juga berlaku pada limas: volume limas adalah sepertiga volume prisma dengan alas dan tinggi yang sama.

Contoh soal: tumpukan pasir

Di lokasi bangunan ada tumpukan pasir berbentuk kerucut. Tingginya 1,5 meter dan lebarnya di permukaan tanah 4 meter. Berapa meter kubik pasir dalam tumpukan itu?

Awas jebakan pada soal: 4 meter adalah lebar tumpukan, yaitu diameter alas, bukan jari-jarinya. Jari-jari adalah setengah diameter, jadi r = 2 meter. Tingginya t = 1,5 meter. Kita substitusikan ke rumus:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Kita kuadratkan 2:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

Sepertiga dikali 1,5 sama dengan 0,5, sehingga perhitungannya dapat disederhanakan:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Terakhir, kita substitusikan nilai pendekatan pi:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Tumpukan itu berisi kira-kira 6,28 meter kubik pasir. Jika kamu ingin memindahkannya dengan gerobak dorong yang memuat kira-kira 80 liter, kamu harus bolak-balik sekitar delapan puluh kali, karena satu meter kubik sama dengan seribu liter, sehingga 6.280:80 ≈ 79.

Jika tingginya tidak diketahui

Kadang-kadang tinggi kerucut tidak diketahui, tetapi panjang garis pelukis s diketahui, yaitu jarak dari titik puncak ke tepi alas. Tinggi, jari-jari, dan garis pelukis bersama-sama membentuk segitiga siku-siku, yang pada gambar diberi warna hijau:

Garis pelukis s adalah sisi miring segitiga ini, sedangkan tinggi t dan jari-jari r adalah sisi siku-sikunya. Karena itu, menurut teorema Pythagoras berlaku

$$s^2=r^2+t^2.$$

Dari persamaan ini kita nyatakan tingginya:

$$t=\sqrt{s^2-r^2}$$

Contoh soal: Sebuah cone es krim berdiameter 5 cm di bagian atas, dan sisi miringnya 6,5 cm. Berapa banyak es krim yang muat di dalamnya?

Diameternya 5 cm, jadi jari-jarinya r = 2,5 cm. Garis pelukis cone itu s = 6,5 cm. Pertama, kita hitung tingginya:

$$t=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Kita kuadratkan:

$$t=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Lalu kita tarik akarnya:

$$t=6$$

Tinggi cone itu 6 cm. Sekarang tinggal kita substitusikan ke rumus volume kerucut:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

Cone itu memuat kira-kira 39 sentimeter kubik es krim, yaitu kurang dari 40 mililiter. Satu skop es krim yang menyembul di atas cone tentu tidak termasuk; bagian itu dihitung sebagai setengah volume bola.

Kalkulator

Masukkan jari-jari alas dan tinggi kerucut. Satuan setiap kolom dapat kamu ganti. Kalkulator memakai nilai pi yang tepat, sehingga hasilnya sedikit lebih besar daripada 94,2.

Lihat juga

• Volume tabung
• Volume bola
• Luas permukaan kerucut
• Luas permukaan limas