원뿔의 부피

원뿔은 아이스크림 콘이나 도로에 세워 두는 라바콘처럼 생긴 입체도형이다. 아래에는 원 모양의 밑면이 있고, 위로 갈수록 좁아져 한 점, 즉 꼭짓점에서 만난다. 원뿔의 부피는 쉽게 말해 이런 콘에 물을 얼마나 부을 수 있는지를 나타낸다.

빨간색은 밑면의 반지름 r, 파란색은 원뿔의 높이 h로, 높이는 꼭짓점과 밑면 사이의 거리이다. 높이는 밑면에 수직이다. 기울어지지 않은 보통의 원뿔에서는 높이가 밑면의 중심에서 끝나며, 이런 원뿔을 직원뿔이라고 한다.

원뿔의 부피 공식

공식만 필요하다면, 밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

예를 들어 밑면의 반지름이 r = 3이고 높이가 h = 10인 원뿔의 부피는 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

결과에 원주율이 남는 것이 싫다면 근삿값 3.14를 대입하면 된다.

$$V\fallingdotseq 30\cdot 3.14=94.2$$

공식의 유도

이 공식은 원기둥의 부피 공식과 거의 같고, 3분의 1만 더 붙어 있다. 밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원기둥의 부피는 다음과 같다.

$$V_{\text{원기둥}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

이제 밑면과 높이가 같은 원기둥과 원뿔을 생각해 보자. 원뿔을 원기둥 안에 넣으면 남김없이 들어맞고, 원뿔의 꼭짓점은 원기둥 윗면의 중심에 닿는다.

원뿔이 더 작다는 것은 한눈에 알 수 있다. 원뿔 주위로 원기둥 안에 빈 공간이 많이 남는다. 그렇다면 얼마나 작을까? 실험으로 확인해 보자. 원뿔에 물을 가득 채워 원기둥에 붓는다. 원기둥은 3분의 1만 찬다. 원뿔로 한 번 더 부으면 원기둥은 3분의 2까지 찬다. 세 번째 원뿔의 물을 부어야 비로소 원기둥이 가득 찬다.

따라서 원기둥에는 원뿔 세 개만큼의 물이 들어가고, 원뿔의 부피는 원기둥 부피의 3분의 1이다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{원기둥}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

물론 물을 옮겨 붓는 것은 실험일 뿐 증명은 아니다. 양동이로는 3분의 1인지, 예컨대 0.31인지 구별할 수 없다. 정말로 3분의 1이라는 것은 정적분으로 증명할 수 있는데, 이는 고등학교 미적분에서 배우는 내용이다.

덧붙여 각뿔에서도 같은 3분의 1이 성립한다. 각뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 각기둥의 부피의 3분의 1이다.

예제: 모래 더미

공사장에 원뿔 모양의 모래 더미가 있다. 높이는 1.5 m이고 바닥의 폭은 4 m이다. 모래 더미에는 모래가 몇 세제곱미터 있을까?

문제의 함정에 주의하자. 4 m는 더미의 폭, 즉 밑면의 지름이지 반지름이 아니다. 반지름은 지름의 절반이므로 r = 2 m이다. 높이는 h = 1.5 m이다. 공식에 대입하면 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1.5$$

2를 제곱한다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1.5$$

3분의 1에 1.5를 곱하면 0.5이므로 계산을 간단히 할 수 있다.

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0.5=2\pi$$

마지막으로 원주율의 근삿값을 대입한다.

$$V\fallingdotseq 2\cdot 3.14=6.28$$

모래 더미에는 모래가 약 6.28 m³ 있다. 약 80 L가 들어가는 외바퀴 수레로 이 모래를 나르려면 80번쯤 오가야 한다. 1 m³는 1,000 L이므로 $6280÷80\fallingdotseq 79$이기 때문이다.

높이를 모를 때

원뿔의 높이는 모르지만 모선의 길이 l, 즉 꼭짓점과 밑면인 원 위의 한 점을 잇는 선분의 길이를 알 때가 있다. 높이, 반지름, 모선은 직각삼각형을 이룬다. 그림에서 초록색으로 칠한 삼각형이다.

모선 l은 이 삼각형의 빗변이고, 높이 h와 반지름 r은 직각을 낀 두 변이다. 따라서 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.

$$l^2=r^2+h^2.$$

이 등식을 높이에 대해 정리한다.

$$h=\sqrt{l^2-r^2}$$

예제: 아이스크림 콘의 윗부분 지름이 5 cm이고 옆면을 따라 잰 길이가 6.5 cm이다. 콘 안에는 아이스크림이 얼마나 들어갈까?

지름이 5 cm이므로 반지름은 r = 2.5 cm이다. 콘의 모선의 길이는 l = 6.5 cm이다. 먼저 높이를 구한다.

$$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{{6.5}^2-{2.5}^2}$$

제곱하면 다음과 같다.

$$h=\sqrt{42.25-6.25}=\sqrt{36}$$

제곱근을 구하면 다음과 같다.

$$h=6$$

콘의 높이는 6 cm이다. 이제 원뿔의 부피 공식에 대입하기만 하면 된다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {2.5}^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37.5=12.5\pi \fallingdotseq 39.25$$

콘 안에는 약 39 cm³, 즉 40 mL가 조금 안 되는 아이스크림이 들어간다. 콘 위로 솟은 아이스크림은 물론 별도이며, 이 부분은 구의 부피의 절반으로 계산할 수 있다.

계산기

밑면의 반지름과 높이를 입력한다. 각 칸의 단위는 바꿀 수 있다. 계산기는 정확한 원주율을 쓰므로 결과가 94.2보다 조금 크게 나온다.

함께 보기

• 원기둥의 부피
• 구의 부피
• 원뿔의 겉넓이
• 각뿔의 겉넓이