Luas permukaan kerucut

Secara sederhana, luas permukaan kerucut menyatakan berapa banyak kertas atau pelat logam yang kita perlukan untuk membuat atau melapisi seluruh kerucut. Jangan tertukar dengan volume kerucut, yang menyatakan berapa banyak air yang muat di dalam kerucut. Kerucut terdiri atas dua bagian: alas berbentuk lingkaran di bawah dan selimut di atasnya yang menyempit ke titik puncak.

Pada gambar, jari-jari alas r berwarna merah, tinggi t berwarna biru, dan garis pelukis kerucut s berwarna hijau. Garis pelukis adalah jarak dari titik puncak ke tepi alas.

Rumus luas permukaan kerucut

Jika kamu hanya mencari rumusnya, luas permukaan kerucut L_p dengan jari-jari alas r dan garis pelukis s dihitung dengan

$$L_p=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot s$$

Suku pertama adalah luas alas, suku kedua luas selimut. Kadang-kadang rumus ini juga ditulis dengan faktor persekutuan π · r di depan kurung:

$$L_p=\pi \cdot r\cdot (r+s)$$

Ambil kerucut dengan jari-jari alas r = 3 dan garis pelukis s = 5. Luas permukaannya adalah

$$L_p=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Jika ingin menuliskan hasilnya sebagai bilangan biasa tanpa pi, substitusikan nilai pendekatan 3,14:

$$L_p\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Dari mana rumus ini berasal?

Alasnya adalah lingkaran biasa, jadi luasnya sudah kita ketahui dari rumus luas lingkaran: π · r².

Selimutnya lebih menarik. Jika selimut kita gunting di sepanjang garis pelukis dan kita bentangkan di atas meja, kita memperoleh juring lingkaran dengan jari-jari s. Gambar berikut menunjukkan seluruh jaring-jaring kerucut: juring merah adalah selimut, lingkaran biru adalah alas. Pada gambar, jaring-jaring itu terlipat menjadi kerucut, lalu terbuka kembali.

Sebelum digunting, busur jingga juring itu adalah tepi alas, sehingga panjangnya sama dengan lingkaran jingga di bawah, yaitu keliling lingkaran 2π r. Satu lingkaran penuh dengan jari-jari s panjangnya 2π s. Bagian juring dari seluruh daerah lingkaran berjari-jari s sama dengan bagian busur dari seluruh keliling lingkaran itu:

$$\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{r}{s}$$

Pada kerucut dari contoh sebelumnya, bagian itu tiga perlima lingkaran, sama seperti pada gambar. Seluruh lingkaran memiliki luas π · s², dan selimut mengambil bagian $\frac{r}{s}$ darinya:

$$L_s=\frac{r}{s}\cdot \pi \cdot s^2=\pi \cdot r\cdot s$$

Jika luas selimut kita tambah dengan luas alas, kita memperoleh rumus lengkapnya, L_p = π · r² + π · r · s.

Contoh soal: topi kertas

Kita sedang menyiapkan pesta dan ingin membuat topi kertas berbentuk kerucut. Jari-jari bagian bawahnya harus 8 cm, dan tingginya 15 cm. Berapa banyak kertas yang kita perlukan?

Namun, rumusnya memerlukan garis pelukis s, bukan tinggi. Tinggi, jari-jari, dan garis pelukis membentuk segitiga siku-siku, sehingga garis pelukis dapat kita hitung dengan teorema Pythagoras. Kita substitusikan r = 8 dan t = 15:

$$s=\sqrt{r^2+t^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Kita kuadratkan:

$$s=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Tinggal menarik akarnya:

$$s=17$$

Di sini ada jebakan: topi tidak memiliki alas. Jika kita memakai rumus lengkapnya, topi itu akan memiliki alas, dan topi seperti itu sulit dipakai. Jadi, kita hanya menghitung selimutnya:

$$L_s=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Kita substitusikan nilai pendekatan pi:

$$L_s\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Untuk topi itu, kita memerlukan kira-kira 427 sentimeter persegi kertas, ditambah sedikit lagi untuk bagian yang dilem.

Kalkulator

Masukkan jari-jari alas dan garis pelukis. Satuan setiap kolom dapat kamu ganti. Kalkulator memakai nilai pi yang tepat, sehingga hasilnya sedikit lebih besar daripada 75,36.

Lihat juga

• Volume kerucut
• Juring lingkaran
• Luas permukaan tabung
• Luas permukaan limas