Обем на конус

Конусът е тяло, което прилича на фунийка за сладолед или на пътен конус на шосето. Долу има кръгла основа, а горе се събира в една точка, във върха. Обемът на конуса ни казва, просто казано, колко вода можем да налеем в такава фунийка.

Конус с радиус на основата r и височина h

В червено е означен радиусът на основата r, в синьо височината на конуса h, това е разстоянието от върха до основата. Височината стои перпендикулярно на основата. При обикновения, ненаклонен конус тя завършва точно в центъра на основата и такъв конус се нарича прав кръгов.

Формула за обема на конус

Ако търсиш само формулата, обемът V на конус, чиято основа има радиус r и който има височина h, се изчислява като

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Например конус с радиус на основата r = 3 и височина h = 10 има обем

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 90 = 30 π$

Ако не ти харесва резултат, в който има константата пи, можеш да заместиш с приблизителната стойност 3,14:

$V \approx 30 \cdot 3, 14 = 94, 2$

Как стигнахме до нея?

Формулата е почти същата като формулата за обема на цилиндър, само че в нея има допълнително тази една трета. Обемът на цилиндър, чиято основа има радиус r и който има височина h, е

$V_{цилиндър} = π \cdot r^{2} \cdot h$

Представи си сега цилиндър и конус, които имат една и съща основа и една и съща височина. Конусът се побира в цилиндъра точно, върхът му се допира до центъра на горната основа на цилиндъра:

Конус в цилиндър със същата основа и височина

На пръв поглед се вижда, че конусът е по-малък, около него в цилиндъра остава много свободно място. Но с колко е по-малък? Можем да опитаме. Напълваме конуса с вода и я преливаме в цилиндъра. Цилиндърът се напълва само до една трета. Напълваме конуса втори път и цилиндърът е пълен до две трети. Чак третият конус вода напълва цилиндъра догоре:

Водата от три конуса пълни цилиндъра

Следователно в цилиндъра се побират точно три конуса вода и затова обемът на конуса е една трета от обема на цилиндъра:

$V = \frac{1}{3} \cdot V_{цилиндър} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Преливането на вода е, разбира се, само опит, не доказателство, с кофа не би могъл да познаеш дали е точно една трета, или например 0,31. Че наистина е точно една трета, може да се докаже с помощта на определен интеграл, но това е материал чак за университета.

Между другото, същата една трета важи и за пирамидата: обемът на пирамидата е една трета от обема на призмата със същата основа и същата височина.

Пример: купчина пясък

На строеж има купчина пясък с формата на конус. Висока е 1,5 метра и при земята е широка 4 метра. Колко кубика пясък има в купчината?

Внимание, в условието има капан: 4 метра е ширината на купчината, тоест диаметърът на основата, а не радиусът. Радиусът е половината от диаметъра, така че r = 2 метра. Височината е h = 1,5 метра. Заместваме във формулата:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5$

Повдигаме 2 на квадрат:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 \cdot 1, 5$

Една трета по 1,5 е 0,5, така че можем да опростим пресмятането:

$V = π \cdot 4 \cdot 0, 5 = 2 π$

И накрая заместваме с приблизителната стойност на пи:

$V \approx 2 \cdot 3, 14 = 6, 28$

В купчината има приблизително 6,28 кубични метра пясък. Който иска да я откара със строителна количка, в която се побират около 80 литра, има пред себе си към осемдесет курса, защото един кубичен метър е хиляда литра, така че 6280:80 ≈ 79.

Когато не знаем височината

Понякога височината на конуса не ни е известна, но знаем дължината на образуващата му l, това е разстоянието от върха до края на основата. Височината, радиусът и образуващата заедно образуват правоъгълен триъгълник, на чертежа оцветен в зелено:

Височината h, радиусът r и образуващата l образуват правоъгълен триъгълник

Образуващата l е хипотенузата на този триъгълник, височината h и радиусът r са катети. По Питагоровата теорема затова е в сила

$l^{2} = r^{2} + h^{2} .$

От това равенство изразяваме височината:

$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$

Пример: Фунийка за сладолед има горе диаметър 5 cm и образуващата ѝ е 6,5 cm. Колко сладолед се побира вътре?

Диаметърът е 5 cm, радиусът е следователно r = 2,5 cm. Образуващата на фунийката е l = 6,5 cm. Първо пресмятаме височината:

$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{6, 5^{2} - 2, 5^{2}}$

Повдигаме на квадрат:

$h = \sqrt{42, 25 - 6, 25} = \sqrt{36}$

И извличаме корен:

$h = 6$

Фунийката е висока 6 cm. Сега остава само да заместим във формулата за обема на конус:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2, 5^{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 37, 5 = 12, 5 π \approx 39, 25$

Във фунийката се побират приблизително 39 кубични сантиметра сладолед, това са малко под четири центилитра. Топката, която стърчи над фунийката, е, разбира се, допълнително, тя би се пресметнала като половината от обема на кълбо.

Калкулатор

Въведи радиуса на основата и височината, мерните единици можеш да превключиш при всяко поле. Калкулаторът използва точното пи и затова получава малко повече от 94,2.

Виж също

Глави: Обем на кълбо, Обем на цилиндър, Обем на конус, Обем на куб, Обем на правоъгълен паралелепипед, Обем на призма, Обем на пирамида

« Предишна: Обем на цилиндър

Следваща: Обем на куб »