Thể tích hình nón

Hình nón là hình khối trông giống chiếc ốc quế đựng kem hay chiếc cọc tiêu giao thông trên đường. Phía dưới là mặt đáy hình tròn, phía trên thu dần lại thành một điểm, gọi là đỉnh. Nói nôm na, thể tích hình nón cho biết đổ được bao nhiêu nước vào một chiếc ốc quế như vậy.

Màu đỏ đánh dấu bán kính đáy r, màu xanh dương đánh dấu chiều cao h của hình nón, tức là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy. Chiều cao vuông góc với mặt đáy. Với hình nón thông thường, không bị nghiêng, chân đường cao nằm đúng tại tâm của đáy, và hình nón như vậy gọi là hình nón tròn xoay.

Công thức tính thể tích hình nón

Nếu chỉ cần công thức: hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h có thể tích V bằng

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Chẳng hạn, hình nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 10 có thể tích

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Nếu không muốn để số pi trong kết quả, có thể thay pi bằng giá trị gần đúng 3,14:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Cách suy ra công thức

Công thức gần giống công thức thể tích hình trụ, chỉ có thêm một phần ba. Hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h có thể tích

$$V_{\text{trụ}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Bây giờ hãy hình dung một hình trụ và một hình nón có cùng đáy và cùng chiều cao. Hình nón đặt vừa khít trong hình trụ, đỉnh của nó chạm vào tâm đáy trên của hình trụ:

Nhìn qua cũng thấy hình nón nhỏ hơn: xung quanh hình nón, trong hình trụ còn rất nhiều chỗ trống. Nhưng nhỏ hơn bao nhiêu? Có thể làm thử. Đổ đầy nước vào hình nón rồi rót sang hình trụ. Hình trụ chỉ đầy một phần ba. Đổ đầy hình nón lần thứ hai thì hình trụ đầy hai phần ba. Phải đến hình nón nước thứ ba thì hình trụ mới đầy đến miệng:

Như vậy hình trụ chứa vừa đúng ba hình nón nước, nên thể tích hình nón bằng một phần ba thể tích hình trụ:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{trụ}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Tất nhiên rót nước chỉ là một thí nghiệm, không phải chứng minh: nhìn vào xô nước thì không thể biết đó là đúng một phần ba hay chẳng hạn 0,31. Có thể chứng minh rằng đó đúng là một phần ba bằng tích phân, nhưng đó là kiến thức ở bậc đại học.

Nhân tiện, một phần ba như vậy cũng có ở hình chóp: thể tích hình chóp bằng một phần ba thể tích hình lăng trụ có cùng đáy và cùng chiều cao.

Ví dụ: đống cát

Ở một công trường có một đống cát hình nón. Đống cát cao 1,5 m và rộng 4 m ở chân. Hỏi đống cát có bao nhiêu khối cát?

Chú ý chỗ dễ nhầm trong đề bài: 4 m là bề rộng của đống cát, tức là đường kính đáy, không phải bán kính. Bán kính bằng nửa đường kính, nên r = 2 m. Chiều cao là h = 1,5 m. Thay vào công thức:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Bình phương 2:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

Một phần ba nhân 1,5 bằng 0,5, nên có thể viết gọn phép tính:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Cuối cùng thay giá trị gần đúng của pi:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Đống cát có khoảng 6,28 m³ cát. Ai muốn chở hết bằng xe cút kít, mỗi xe chứa khoảng 80 lít, sẽ phải đi khoảng 80 chuyến, vì 1 m³ bằng 1.000 lít, nên 6280:80 ≈ 79.

Khi không biết chiều cao

Đôi khi ta không biết chiều cao của hình nón, nhưng biết độ dài đường sinh l, tức là khoảng cách từ đỉnh đến mép đáy. Chiều cao, bán kính và đường sinh tạo thành một tam giác vuông, trên hình được tô màu xanh lá:

Đường sinh l là cạnh huyền của tam giác này, còn chiều cao h và bán kính r là hai cạnh góc vuông. Vì vậy theo định lí Pythagore ta có

$$l^2=r^2+h^2.$$

Từ đẳng thức này suy ra chiều cao:

$$h=\sqrt{l^2-r^2}$$

Ví dụ: Một chiếc ốc quế có đường kính miệng 5 cm và thành bên dài 6,5 cm. Hỏi chiếc ốc quế chứa được bao nhiêu kem?

Đường kính là 5 cm, nên bán kính là r = 2,5 cm. Đường sinh của ốc quế là l = 6,5 cm. Trước hết tính chiều cao:

$$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Bình phương:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Khai căn:

$$h=6$$

Chiếc ốc quế cao 6 cm. Bây giờ chỉ cần thay vào công thức thể tích hình nón:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

Chiếc ốc quế chứa được khoảng 39 cm³ kem, tức là chưa đến 40 ml. Viên kem nhô lên trên miệng ốc quế tất nhiên là phần thêm; phần đó tính bằng một nửa thể tích hình cầu.

Máy tính

Nhập bán kính đáy và chiều cao; đơn vị của từng ô có thể đổi được. Máy tính dùng giá trị chính xác của pi, nên kết quả lớn hơn 94,2 một chút.

Xem thêm

• Thể tích hình trụ
• Thể tích hình cầu
• Diện tích toàn phần của hình nón
• Diện tích toàn phần của hình chóp