Volume limas

Limas adalah bangun ruang yang kamu kenal dari piramida Mesir. Di bagian bawah ada alas, paling sering berbentuk persegi, dan dari rusuk-rusuk alas itu naik sisi-sisi tegak berbentuk segitiga yang bertemu di satu titik di atas, yaitu titik puncak. Volume limas memberi tahu berapa banyak pasir yang muat di dalam piramida seperti itu jika piramidanya berongga.

Alasnya diberi warna merah, dan luasnya akan kita lambangkan dengan L_a. Warna biru menandai tinggi limas t, yaitu jarak titik puncak ke alas. Tinggi ini tegak lurus terhadap alas, jadi kita tidak mengukurnya di sepanjang sisi tegak yang miring, tetapi tegak lurus ke bawah dari titik puncak.

Rumus volume limas

Jika kamu hanya mencari rumusnya, volume limas V dengan luas alas L_a dan tinggi t dihitung dengan

$$V=\frac{1}{3}\cdot L_a\cdot t$$

Yang paling umum adalah limas segi empat beraturan, yaitu limas dengan alas berbentuk persegi dengan panjang sisi a. Luas alasnya adalah luas persegi L_a = a², sehingga rumusnya menjadi:

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot t$$

Misalnya, limas dengan panjang sisi alas a = 6 dan tinggi t = 5 memiliki volume

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 180=60$$

Mengapa ada sepertiga?

Tanpa sepertiga itu, rumus L_a · t menghasilkan volume prisma dengan alas dan tinggi yang sama. Jadi, limas adalah sepertiga prisma. Mengapa tepat sepertiga dapat ditunjukkan dengan indah pada kubus.

Ambil sebuah kubus dengan panjang rusuk a dan salah satu titik sudutnya, yang pada gambar berwarna jingga. Dari titik itu kita bentuk limas ke tiga sisi kubus yang tidak menyentuh titik jingga: sisi bawah, sisi belakang, dan sisi kanan. Terbentuklah tiga limas, yaitu merah, biru, dan hijau. Bersama-sama ketiganya mengisi seluruh kubus, tanpa ada ruang yang tersisa dan tanpa saling tumpang-tindih:

Ketiga limas itu sama, hanya letaknya berbeda. Alas setiap limas adalah satu sisi kubus, yaitu persegi dengan luas a², dan tinggi setiap limas adalah a, karena titik puncaknya berjarak tepat satu rusuk kubus dari sisi di seberangnya. Volume kubus adalah a³ dan terbagi rata menjadi tiga limas, sehingga volume setiap limas adalah

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot L_a\cdot t$$

Itulah rumus kita.

Tentu saja kubus hanyalah satu kasus khusus, tetapi sepertiga itu tetap berlaku di kasus lain. Jika kubus kita regangkan ke atas atau ke samping, kubus menjadi balok, dan ketiga limas ikut meregang dengan cara yang sama, sehingga setiap limas tetap sepertiga balok. Jika limas kita miringkan, volumenya tidak berubah. Bayangkan limas tersusun dari lempengan-lempengan tipis, seperti cerobong dari persegi yang makin lama makin kecil. Jika lempengan-lempengan itu kita geser ke samping, terbentuk limas miring, tetapi lempengannya tetap sama dan menempati ruang yang sama besar. Trik ini disebut prinsip Cavalieri. Cara ini juga berlaku untuk limas dengan alas berbentuk lain: jika dua limas memiliki luas alas dan tinggi yang sama, lempengan-lempengannya memiliki luas yang sama di setiap ketinggian, entah alasnya persegi atau segitiga, sehingga volumenya juga sama. Karena itu, rumus

$$V=\frac{1}{3}\cdot L_a\cdot t$$

berlaku untuk setiap limas, baik tegak maupun miring, dengan alas persegi, persegi panjang, maupun segitiga. Hanya saja, hati-hati pada limas miring: tingginya tetap jarak tegak lurus titik puncak ke alas, bukan panjang rusuk yang miring.

Sepertiga yang sama juga kamu temukan pada volume kerucut: kerucut adalah sepertiga tabung dengan alas dan tinggi yang sama. Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berupa lingkaran, bukan persegi.

Contoh soal: piramida Khufu

Piramida Mesir terbesar, piramida Khufu (Cheops) di Giza, semula memiliki alas berbentuk persegi dengan sisi kira-kira 230 meter dan tinggi kira-kira 146 meter. Sekarang tingginya sekitar delapan meter lebih rendah, karena puncak dan lapisan luarnya sudah hilang. Berapa banyak batu yang muat di dalamnya?

Pertama, alasnya, yaitu persegi dengan sisi 230 meter:

$$L_a={230}^2=52.900$$

Alasnya seluas 52.900 meter persegi, kira-kira seluas tujuh lapangan sepak bola. Dari sini kita dapat menghitung volumenya:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 52.900\cdot 146$$

Kita kalikan:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 7.723.400$$

Tinggal membaginya dengan tiga:

$$V\approx 2.574.467$$

Volume piramida Khufu kira-kira 2,6 juta meter kubik. Jika piramida itu kita bongkar dan batunya kita masukkan ke kolam renang olimpiade, masing-masing sepanjang 50 meter, selebar 25 meter, dan sedalam 2 meter, yaitu bervolume 2.500 meter kubik, kita akan mengisi lebih dari seribu kolam.

Sepertiga yang terlupakan di sini akan mahal akibatnya. Jika sepertiga itu dihilangkan, hasilnya lebih dari 7,7 juta meter kubik, seolah-olah kita membangun dua piramida tambahan.

Jika tingginya tidak diketahui

Sering kali tinggi limas tidak diketahui, tetapi panjang rusuk tegak s diketahui, yaitu rusuk yang menghubungkan titik sudut alas dengan titik puncak. Begitulah keadaannya, misalnya, pada bangunan sungguhan: rusuk lebih mudah diukur dengan meteran daripada tinggi tegak di bagian dalam.

Tinggi t, rusuk tegak s, dan setengah diagonal alas (merah) membentuk segitiga siku-siku, yang pada gambar diberi warna hijau:

Tinggi limas jatuh dari titik puncak ke titik pusat persegi, dan jarak dari titik pusat ke titik sudut persegi sama dengan setengah diagonal persegi. Diagonal persegi dengan panjang sisi a adalah $d=a\cdot \sqrt{2}$. Rusuk tegak s adalah sisi miring segitiga, sehingga menurut teorema Pythagoras berlaku

$$s^2=t^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2.$$

Dari sini kita nyatakan tingginya:

$$t=\sqrt{s^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}$$

Contoh soal: Di depan museum Louvre di Paris berdiri piramida kaca dengan alas berbentuk persegi bersisi 35,4 meter dan rusuk tegak sepanjang kira-kira 33,1 meter. Berapa banyak udara di dalamnya?

Kita mulai dengan diagonal alas:

$$d=a\cdot \sqrt{2}=35,4\cdot \sqrt{2}\approx 50,06$$

Jadi, setengah diagonalnya kira-kira 25,03 meter. Dalam rumus tinggi hasilnya seperti ini:

$$t=\sqrt{33,1^2-25,{03}^2}$$

Kita kuadratkan:

$$t=\sqrt{1.095,61-626,50}=\sqrt{469,11}$$

Lalu kita tarik akarnya:

$$t\approx 21,66$$

Tinggi piramida itu kira-kira 21,66 meter. Hasilnya cocok, karena tinggi resminya 21,64 meter. Dengan tinggi yang sudah diketahui, kita hitung volumenya:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 35,4^2\cdot 21,66=\frac{1}{3}\cdot 1.253,16\cdot 21,66\approx 9.048$$

Di dalam piramida itu terdapat kira-kira 9.000 meter kubik udara. Hampir tiga ratus piramida seperti itu muat di dalam piramida Khufu.

Limas dengan alas lain

Alas limas tidak harus persegi. Rumus $V=\frac{1}{3}\cdot L_a\cdot t$ berlaku untuk alas apa pun, hanya cara menghitung luas alas L_a yang berbeda-beda.

Cobalah menggergaji salah satu pojok balok kayu dengan potongan miring yang melewati tiga titik sudut di sebelahnya. Potongan itu adalah limas segitiga: alasnya segitiga siku-siku, dan tingginya adalah rusuk tegak balok yang tegak lurus terhadap alas.

Misalkan sisi siku-siku alasnya a = 8 cm dan b = 6 cm, dan tingginya t = 9 cm. Pertama, kita cari luas segitiga pada alas. Pada segitiga siku-siku, cukup kalikan kedua sisi siku-sikunya, lalu bagi dua:

$$L_a=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$

Luas alas sudah diketahui, sehingga volumenya:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Dari balok itu kita memotong 72 sentimeter kubik kayu.

Untuk memastikan, kita periksa hasilnya. Limas ini juga dapat diletakkan pada sisi lain: sisi kiri juga berupa segitiga siku-siku, kali ini dengan sisi siku-siku b = 6 cm dan t = 9 cm, dan rusuk a sepanjang 8 cm yang tegak lurus terhadapnya sekarang menjadi tinggi. Luas alasnya $\frac{6\cdot 9}{2}=27$ dan volumenya

$$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Hasilnya cocok. Limasnya tetap sama, hanya letaknya berbeda, sehingga volumenya pasti sama.

Kalkulator

Volume limas segi empat beraturan juga dapat kamu hitung di sini. Cukup masukkan panjang sisi alas dan tinggi limas. Satuan setiap kolom dapat kamu ganti.

Lihat juga

• Volume prisma
• Volume kerucut
• Luas permukaan limas