Thể tích hình chóp

Hình chóp là hình khối quen thuộc qua các kim tự tháp Ai Cập. Phía dưới là mặt đáy, thường là một hình vuông; từ các cạnh đáy, các mặt bên hình tam giác vươn lên và gặp nhau tại một điểm ở trên cùng, gọi là đỉnh. Thể tích hình chóp cho biết một kim tự tháp như vậy, nếu rỗng ruột, sẽ chứa được bao nhiêu cát.

Mặt đáy được tô màu đỏ, diện tích của nó ta kí hiệu là S_đáy. Màu xanh dương đánh dấu chiều cao h của hình chóp, tức là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy. Chiều cao vuông góc với mặt đáy, nên ta không đo chiều cao dọc theo mặt bên nghiêng mà đo thẳng đứng từ đỉnh xuống.

Công thức tính thể tích hình chóp

Nếu chỉ cần công thức: hình chóp có diện tích đáy S_đáy và chiều cao h có thể tích V bằng

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{đáy}}\cdot h$$

Thường gặp nhất là hình chóp tứ giác đều, tức là hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a. Khi đó diện tích đáy là diện tích hình vuông S_đáy = a² và công thức có dạng:

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$$

Chẳng hạn, hình chóp có cạnh đáy a = 6 và chiều cao h = 5 có thể tích

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 180=60$$

Vì sao có một phần ba?

Nếu bỏ thừa số một phần ba thì công thức S_đáy · h cho thể tích hình lăng trụ có cùng đáy và cùng chiều cao. Vậy hình chóp bằng một phần ba hình lăng trụ. Vì sao lại đúng một phần ba? Có thể minh hoạ điều này rất đẹp bằng hình lập phương.

Xét hình lập phương cạnh a và một đỉnh của nó, trên hình là đỉnh màu cam. Từ đỉnh này, ta dựng các hình chóp có đáy là ba mặt của hình lập phương không chứa đỉnh màu cam: mặt dưới, mặt sau và mặt bên phải. Ta được ba hình chóp màu đỏ, xanh dương và xanh lá. Chúng lấp đầy cả hình lập phương, không chừa chỗ trống nào và không chồng lên nhau:

Ba hình chóp này bằng nhau, chỉ nằm theo các hướng khác nhau. Mỗi hình chóp có đáy là một mặt của hình lập phương, tức là hình vuông có diện tích a², và có chiều cao a, vì đỉnh của nó cách mặt đối diện đúng bằng cạnh của hình lập phương. Thể tích hình lập phương là a³ và được chia đều cho ba hình chóp, nên mỗi hình chóp có thể tích

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{đáy}}\cdot h$$

Đó chính là công thức của ta.

Tất nhiên hình lập phương chỉ là một trường hợp cụ thể, nhưng một phần ba vẫn đúng trong các trường hợp khác. Khi kéo giãn hình lập phương theo chiều cao hoặc chiều ngang, ta được hình hộp chữ nhật, và cả ba hình chóp cũng giãn theo đúng như vậy, nên mỗi hình chóp vẫn bằng một phần ba hình hộp. Còn khi làm nghiêng hình chóp, thể tích của nó không đổi. Hãy hình dung hình chóp được xếp từ những tấm mỏng, giống như một ống khói làm từ các hình vuông ngày càng nhỏ. Khi đẩy lệch các tấm sang một bên, ta được hình chóp xiên, nhưng các tấm vẫn là những tấm cũ và chiếm một thể tích như cũ. Mẹo này gọi là nguyên lí Cavalieri. Nguyên lí này cũng đúng với hình chóp có đáy hình dạng khác: nếu hai hình chóp có diện tích đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì ở mọi độ cao, các tấm mỏng của chúng có diện tích bằng nhau, dù đáy là hình vuông hay hình tam giác, và vì thế hai hình chóp có thể tích bằng nhau. Do đó công thức

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{đáy}}\cdot h$$

đúng với mọi hình chóp, đứng hay xiên, có đáy hình vuông, hình chữ nhật hay hình tam giác. Chỉ cần chú ý với hình chóp xiên: chiều cao vẫn là khoảng cách thẳng đứng từ đỉnh đến mặt đáy, không phải độ dài cạnh bên nghiêng.

Một phần ba này cũng xuất hiện ở thể tích hình nón: hình nón bằng một phần ba hình trụ có cùng đáy và cùng chiều cao. Thật vậy, có thể xem hình nón như một hình chóp có đáy là hình tròn thay cho hình vuông.

Ví dụ: kim tự tháp Kheops

Kim tự tháp lớn nhất Ai Cập, kim tự tháp Kheops ở Giza, ban đầu có đáy là hình vuông cạnh khoảng 230 m và cao khoảng 146 m. Ngày nay kim tự tháp thấp hơn khoảng 8 m, vì đã mất phần chóp và lớp đá ốp bên ngoài. Hỏi kim tự tháp chứa bao nhiêu đá?

Trước hết tính diện tích đáy, đó là hình vuông cạnh 230 m:

$$S_{\text{đáy}}={230}^2=52.900$$

Đáy rộng 52.900 m², xấp xỉ 7 sân bóng đá. Từ đó tính được thể tích:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 52.900\cdot 146$$

Nhân ra:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 7.723.400$$

Còn lại chia cho 3:

$$V\approx 2.574.467$$

Kim tự tháp Kheops có thể tích khoảng 2,6 triệu mét khối. Nếu tháo dỡ nó ra và dùng đá đổ đầy các bể bơi Olympic, mỗi bể dài 50 m, rộng 25 m và sâu 2 m, tức là có thể tích 2.500 m³, thì ta sẽ lấp đầy được hơn 1.000 bể.

Quên thừa số một phần ba ở đây thì sai rất nặng: kết quả sẽ là hơn 7,7 triệu mét khối, tức là trong tưởng tượng ta đã xây thừa 2 kim tự tháp nữa.

Khi không biết chiều cao

Tuy nhiên, thường thì ta không có sẵn chiều cao của hình chóp, mà lại biết độ dài cạnh bên l, tức là cạnh nối một đỉnh của đáy với đỉnh hình chóp. Với công trình thực tế cũng vậy: đem thước đến đo cạnh bên dễ hơn nhiều so với đo chiều cao thẳng đứng nằm bên trong.

Chiều cao h, cạnh bên l và nửa đường chéo của đáy (màu đỏ) tạo thành một tam giác vuông, trên hình được tô màu xanh lá:

Chân đường cao hạ từ đỉnh là tâm của hình vuông, và khoảng cách từ tâm đến một đỉnh của hình vuông đúng bằng nửa đường chéo của hình vuông. Đường chéo của hình vuông cạnh a dài $d=a\cdot \sqrt{2}$. Cạnh bên l là cạnh huyền của tam giác vuông, nên theo định lí Pythagore ta có

$$l^2=h^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2.$$

Từ đó suy ra chiều cao:

$$h=\sqrt{l^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}$$

Ví dụ: Trước bảo tàng Louvre ở Paris có một kim tự tháp kính với đáy là hình vuông cạnh 35,4 m và các cạnh bên dài khoảng 33,1 m. Tính thể tích không khí bên trong kim tự tháp.

Bắt đầu với đường chéo của đáy:

$$d=a\cdot \sqrt{2}=35,4\cdot \sqrt{2}\approx 50,06$$

Vậy nửa đường chéo xấp xỉ 25,03 m. Thay vào công thức tính chiều cao:

$$h=\sqrt{33,1^2-25,{03}^2}$$

Bình phương:

$$h=\sqrt{1095,61-626,50}=\sqrt{469,11}$$

Khai căn:

$$h\approx 21,66$$

Kim tự tháp cao khoảng 21,66 m. Kết quả này khớp với thực tế: chiều cao chính thức được công bố là 21,64 m. Có chiều cao rồi, ta tính thể tích:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 35,4^2\cdot 21,66=\frac{1}{3}\cdot 1253,16\cdot 21,66\approx 9048$$

Bên trong kim tự tháp có khoảng 9.000 m³ không khí. Kim tự tháp Kheops chứa được gần 300 kim tự tháp như vậy.

Hình chóp có đáy khác

Đáy của hình chóp không nhất thiết là hình vuông. Công thức $V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{đáy}}\cdot h$ đúng với mọi loại đáy, chỉ là mỗi lần diện tích đáy S_đáy lại tính theo cách khác.

Hãy thử dùng cưa cắt một góc của khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng một nhát cắt xiên đi qua ba đỉnh kề với góc đó. Phần bị cắt ra là một hình chóp tam giác: đáy của nó là tam giác vuông, còn chiều cao là cạnh thẳng đứng của khối hộp, vuông góc với mặt đáy.

Giả sử hai cạnh góc vuông của đáy là a = 8 cm và b = 6 cm, còn chiều cao là h = 9 cm. Trước hết tính diện tích tam giác ở đáy. Với tam giác vuông, chỉ cần nhân hai cạnh góc vuông rồi chia cho 2:

$$S_{\text{đáy}}=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$

Có diện tích đáy rồi, ta tính được thể tích:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Phần gỗ cắt ra từ khối hộp có thể tích 72 cm³.

Để chắc chắn, ta kiểm tra lại kết quả. Hình chóp này cũng có thể đặt nằm trên một mặt khác: mặt bên trái cũng là một tam giác vuông, lần này với hai cạnh góc vuông b = 6 cm và h = 9 cm, và cạnh a dài 8 cm vuông góc với mặt đó, bây giờ đóng vai trò chiều cao. Diện tích đáy là $\frac{6\cdot 9}{2}=27$ và thể tích là

$$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Đúng. Hình chóp vẫn là hình chóp cũ, chỉ nằm theo cách khác, nên thể tích phải như nhau.

Máy tính

Thể tích hình chóp tứ giác đều cũng có thể tính ngay tại đây. Chỉ cần nhập cạnh đáy và chiều cao; đơn vị của từng ô có thể đổi được.

Xem thêm

• Thể tích hình lăng trụ
• Thể tích hình nón
• Diện tích toàn phần của hình chóp