각뿔의 부피

각뿔은 이집트의 피라미드로 잘 알려진 입체도형이다. 아래에는 밑면이 있는데 대개 정사각형이고, 밑면의 모서리에서 삼각형 모양의 옆면이 올라가 위쪽의 한 점, 즉 꼭짓점에서 만난다. 각뿔의 부피를 알면 이런 피라미드의 속이 비어 있을 때 모래가 얼마나 들어갈지 알 수 있다.

빨간색으로 칠한 부분이 밑면이고, 그 넓이를 S_p로 나타낸다. 파란색으로 표시한 것은 각뿔의 높이 h, 즉 꼭짓점과 밑면 사이의 거리이다. 높이는 밑면에 수직이므로 비스듬한 옆면을 따라 재지 않고 꼭짓점에서 수직으로 내려 잰다.

각뿔의 부피 공식

공식만 필요하다면, 밑넓이가 S_p이고 높이가 h인 각뿔의 부피 V는 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_p\cdot h$$

가장 흔한 것은 정사각뿔, 즉 밑면이 한 변의 길이가 a인 정사각형인 각뿔이다. 이때 밑넓이는 정사각형의 넓이 S_p = a²이고, 공식은 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$$

예를 들어 밑면의 한 변의 길이가 a = 6이고 높이가 h = 5인 각뿔의 부피는 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 180=60$$

공식에 3분의 1이 붙는 이유

3분의 1이 없으면 식 S_p · h는 밑면과 높이가 같은 각기둥의 부피가 된다. 즉 각뿔의 부피는 각기둥의 3분의 1이다. 왜 하필 3분의 1인지는 정육면체로 멋지게 보여 줄 수 있다.

모서리의 길이가 a인 정육면체에서 한 꼭짓점(그림에서 주황색)을 잡자. 이 꼭짓점과 닿지 않는 정육면체의 세 면, 즉 아랫면, 뒷면, 오른쪽 면을 각각 밑면으로 하고 이 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 각뿔을 만든다. 그러면 빨간색, 파란색, 초록색의 세 각뿔이 생긴다. 세 각뿔은 정육면체를 빈틈없이, 겹치지 않게 가득 채운다.

세 각뿔은 놓인 방향만 다를 뿐 모두 합동이다. 각 각뿔은 정육면체의 한 면, 즉 넓이가 a²인 정사각형을 밑면으로 한다. 또 꼭짓점이 마주 보는 면에서 정육면체의 모서리 길이만큼 떨어져 있으므로 높이는 모두 a이다. 정육면체의 부피는 a³이고 이것이 세 각뿔에 똑같이 나누어지므로, 각뿔 하나의 부피는 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot S_p\cdot h$$

앞에서 본 공식과 같다.

물론 정육면체는 하나의 특별한 경우일 뿐이지만, 3분의 1은 다른 경우에도 성립한다. 정육면체를 위나 옆으로 늘이면 직육면체가 되고, 세 각뿔도 똑같이 늘어난다. 각 각뿔은 여전히 직육면체의 3분의 1이다. 또 각뿔을 기울여도 부피는 변하지 않는다. 각뿔을 점점 작아지는 얇은 정사각형 판을 굴뚝처럼 쌓아 만든 것이라고 상상해 보자. 판들을 옆으로 밀면 빗각뿔이 되지만, 판은 그대로이므로 차지하는 공간도 같다. 이 방법을 카발리에리의 원리라고 한다. 이 원리는 밑면의 모양이 다른 각뿔에도 적용된다. 두 각뿔의 밑넓이와 높이가 같으면, 밑면이 정사각형이든 삼각형이든 같은 높이에 있는 판의 넓이가 같으므로 부피도 같다. 따라서 다음 공식은 모든 각뿔에 성립한다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_p\cdot h$$

곧은 각뿔이든 빗각뿔이든, 밑면이 정사각형이든 직사각형이든 삼각형이든 상관없다. 다만 빗각뿔에서도 높이는 꼭짓점과 밑면 사이의 수직 거리이지 비스듬한 모서리의 길이가 아니라는 점에 주의하자.

원뿔의 부피에서도 같은 3분의 1이 나온다. 원뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 원기둥의 3분의 1이다. 원뿔은 밑면이 정사각형 대신 원인 각뿔로 볼 수 있기 때문이다.

예제: 쿠푸왕의 피라미드

가장 큰 이집트 피라미드인 기자의 쿠푸왕 피라미드는 원래 밑면이 한 변의 길이가 약 230 m인 정사각형이었고, 높이는 약 146 m였다. 지금은 꼭대기와 바깥을 덮은 돌이 사라져 약 8 m 낮아졌다. 이 피라미드에는 돌이 얼마나 들어갔을까?

먼저 밑넓이를 구한다. 밑면은 한 변의 길이가 230 m인 정사각형이다.

$$S_p={230}^2=\mathrm{52,900}$$

밑넓이는 5만 2,900 m²로, 축구장 약 일곱 개의 넓이이다. 이제 부피를 구할 수 있다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot \mathrm{52,900}\cdot 146$$

곱하면 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot \mathrm{7,723,400}$$

마지막으로 3으로 나눈다.

$$V\fallingdotseq \mathrm{2,574,467}$$

쿠푸왕 피라미드의 부피는 약 260만 m³이다. 이 피라미드를 허물어 그 돌로 올림픽 수영장(길이 50 m, 폭 25 m, 깊이 2 m, 부피 2,500 m³)을 채운다면 천 개가 넘게 채울 수 있다.

여기서 3분의 1을 잊으면 비싼 대가를 치른다. 이를 빠뜨리면 770만 m³가 넘게 나와서, 머릿속으로 피라미드를 두 개나 더 짓는 셈이 된다.

높이를 모를 때

각뿔의 높이를 모를 때가 많다. 대신 옆모서리의 길이 s, 즉 밑면의 꼭짓점에서 각뿔의 꼭짓점까지 이어진 모서리의 길이를 알 때가 있다. 실제 건축물이 그렇다. 줄자로 내부의 수직 높이를 재는 것보다 모서리를 재는 편이 쉽다.

높이 h, 옆모서리 s, 밑면의 대각선의 절반(빨간색)은 직각삼각형을 이룬다. 그림에서 초록색으로 칠한 삼각형이다.

높이는 꼭짓점에서 정사각형의 중심으로 내려오고, 중심에서 밑면의 꼭짓점까지의 거리는 정사각형의 대각선 길이의 절반이다. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이는 $d=a\cdot \sqrt{2}$이다. 옆모서리 s는 이 삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.

$$s^2=h^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2.$$

이 식을 높이에 대해 정리한다.

$$h=\sqrt{s^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}$$

예제: 파리 루브르 박물관 앞에는 밑면이 한 변의 길이가 35.4 m인 정사각형이고 옆모서리의 길이가 약 33.1 m인 유리 피라미드가 있다. 이 피라미드 안에는 공기가 얼마나 들어 있을까?

먼저 밑면의 대각선 길이를 구한다.

$$d=a\cdot \sqrt{2}=35.4\cdot \sqrt{2}\fallingdotseq 50.06$$

따라서 대각선의 절반은 약 25.03 m이다. 높이를 구하는 식에 넣으면 다음과 같다.

$$h=\sqrt{{33.1}^2-{25.03}^2}$$

제곱하면 다음과 같다.

$$h=\sqrt{1095.61-626.50}=\sqrt{469.11}$$

제곱근을 구하면 다음과 같다.

$$h\fallingdotseq 21.66$$

피라미드의 높이는 약 21.66 m이다. 공식적으로 알려진 높이가 21.64 m이므로 거의 맞는다. 높이를 알았으니 부피를 구하자.

$$V=\frac{1}{3}\cdot {35.4}^2\cdot 21.66=\frac{1}{3}\cdot 1253.16\cdot 21.66\fallingdotseq 9048$$

피라미드 안에는 약 9,000 m³의 공기가 들어 있다. 쿠푸왕의 피라미드에는 이런 피라미드가 300개 가까이 들어간다.

밑면이 다른 각뿔

각뿔의 밑면이 정사각형이 아니어도 된다. 공식 $V=\frac{1}{3}\cdot S_p\cdot h$는 어떤 밑면에서도 성립하며, 밑넓이 S_p를 구하는 방법만 달라진다.

나무 직육면체의 한 꼭짓점을, 그 꼭짓점과 이웃한 세 꼭짓점을 지나도록 비스듬히 톱으로 잘라 낸다고 하자. 잘라 낸 조각은 삼각뿔이다. 밑면은 직각삼각형이고, 높이는 밑면에 수직인 직육면체의 세로 모서리이다.

밑면에서 직각을 낀 두 변의 길이가 a = 8 cm, b = 6 cm이고 높이가 h = 9 cm라고 하자. 먼저 밑면인 삼각형의 넓이를 구한다. 직각삼각형은 직각을 낀 두 변의 길이를 곱해 2로 나누면 된다.

$$S_p=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$

밑넓이를 구했으니 부피는 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

직육면체에서 나무 72 cm³를 잘라 낸 것이다.

확인을 위해 결과를 검산해 보자. 이 각뿔은 다른 면을 바닥에 두고 놓을 수도 있다. 왼쪽 면도 직각삼각형으로, 이번에는 직각을 낀 두 변이 b = 6 cm, h = 9 cm이다. 이 면에 수직인 모서리 a(길이 8 cm)가 이제 높이가 된다. 밑넓이는 $\frac{6\cdot 9}{2}=27$이고 부피는 다음과 같다.

$$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

결과가 같다. 각뿔은 그대로이고 놓인 방향만 다르므로 부피가 같게 나와야 한다.

계산기

정사각뿔의 부피는 여기에서도 구할 수 있다. 밑면의 한 변의 길이와 높이를 입력하면 되고, 각 칸의 단위는 바꿀 수 있다.

함께 보기

• 각기둥의 부피
• 원뿔의 부피
• 각뿔의 겉넓이