Disequazioni lineari

Le disequazioni lineari si risolvono con passaggi simili a quelli che usi per una normale equazione di primo grado. Una disequazione lineare ha di solito questa forma: ax + b>0 (oppure minore di, maggiore o uguale a, minore o uguale a). Ora basta trasformare la disequazione nella forma seguente e il risultato è pronto: x>−b/a. Naturalmente supponiamo che sia a>0. Per a negativo, nella divisione il verso della disuguaglianza si invertirebbe e otterremmo x<−b/a.

Disequazione lineare semplice

Una disequazione lineare si può risolvere con i principi di equivalenza delle disequazioni.

• Un esempio semplice può essere questo:

  $$3x+9>3$$

  Per prima cosa spostiamo tutti i termini senza incognita a destra. Sommiamo quindi alla disequazione il numero −9 e otteniamo:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Poi dividiamo tutta la disequazione per tre:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Questo è il risultato dell’intera disequazione. La disequazione è soddisfatta per tutti gli x > −2.

  Potremmo risolvere la disequazione anche graficamente. Se abbiamo la disequazione 3x + 9 > 3, disegniamo i grafici di due funzioni: quella del primo membro e quella del secondo. Otteniamo le funzioni f(x) = 3x + 9 e g(x) = 3. I loro grafici sono questi:

  

  Vediamo che i due grafici si intersecano in un solo punto x₁, la cui ascissa è proprio −2. Vediamo anche che per tutti gli x > x₁, cioè per tutti gli x dell’intervallo (−2; +∞), la funzione rossa 3x + 9 sta «sopra» la funzione blu 3 (qui «sopra» significa «ha l’ordinata maggiore»). Questo concorda con il risultato che abbiamo appena ricavato.

• A volte, se ci sono molti segni meno, conviene moltiplicare tutta la disequazione per −1. In questo caso, oltre ai valori della disequazione, devi invertire anche il verso della disuguaglianza: «maggiore di» diventa «minore di» e viceversa:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Questo vale ovviamente ogni volta che moltiplichi l’intera disequazione per un qualsiasi numero negativo. Ecco quindi un altro esempio rapido:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  Nel primo passaggio sommiamo normalmente −2x ad entrambi i membri, così spostiamo tutti i termini con la variabile a sinistra. Allo stesso tempo sottraiamo otto, così spostiamo le costanti a destra. Poi non resta che moltiplicare tutta la disequazione per $-\frac{1}{5}$.

  Come illustrazione, osserva la soluzione grafica della disequazione, in cui disegniamo le due funzioni f(x) = −3x + 8 e g(x) = 2x − 7.

  

  Vediamo che il grafico rosso della funzione −3x + 8 sta sotto il grafico blu della funzione 2x − 7 ogni volta che x > 3.

Incognita al denominatore

Una disequazione lineare che contiene frazioni con la variabile al denominatore si risolve in modo un po’ più complicato. Un esempio può essere la disequazione:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Non possiamo moltiplicare la disequazione per l’incognita al denominatore, perché non ne conosciamo il segno. Se infatti il valore della variabile fosse negativo, dovremmo invertire il verso della disuguaglianza. Per questo non possiamo permetterci di moltiplicare semplicemente la disequazione per la variabile al denominatore. Non sarebbe un passaggio equivalente.

Cominciamo a trasformare la disequazione in modo da avere una sola frazione a sinistra e zero a destra. Sommiamo quindi alla disequazione −4 e otteniamo la forma:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Ora dobbiamo ridurre l’espressione a sinistra a una sola frazione. Moltiplichiamo quindi il numero −1 per la frazione $\frac{x}{x}$, così portiamo entrambi i termini a un denominatore comune, e poi sommiamo le frazioni:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Ora ci chiediamo: quando una frazione è positiva? Una frazione è positiva se numeratore e denominatore sono entrambi positivi, oppure se sono entrambi negativi. Se uno dei due è positivo e l’altro negativo, la frazione è negativa. Per esempio, se abbiamo la frazione $\frac{4}{3}$, l’intera frazione rappresenta un numero positivo. Se abbiamo la frazione $\frac{-3}{4}$, la frazione rappresenta un numero negativo. La frazione $\frac{-3}{-4}$ rappresenta di nuovo un numero positivo, perché i segni meno si semplificano. In generale possiamo scrivere:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{positivo}}{\text{positivo}}& =& \text{positivo}\\ \frac{\text{positivo}}{\text{negativo}}& =& \text{negativo}\\ \frac{\text{negativo}}{\text{positivo}}& =& \text{negativo}\\ \frac{\text{negativo}}{\text{negativo}}& =& \text{positivo}\end{array}$$

Dovremo quindi risolvere due gruppi di disequazioni. Cominciamo cercando quando numeratore e denominatore sono entrambi positivi:

1. Perché numeratore e denominatore siano entrambi positivi, devono valere contemporaneamente entrambe queste disequazioni:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Nella prima disequazione basta portare 2 dall’altra parte e moltiplicare per −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Abbiamo la soluzione della prima disequazione. Nella seconda, x > 0, non c’è altro da risolvere. A questo punto dobbiamo fare l’intersezione di queste soluzioni, perché ci interessano i casi in cui valgono entrambe contemporaneamente, cioè in cui il numeratore è positivo e allo stesso tempo anche il denominatore è positivo. La prima soluzione si può scrivere come intervallo (−∞; 2), la seconda come intervallo (0; +∞). Ora facciamo l’intersezione di questi intervalli:

   $$(-\mathrm{\infty };2)\cap (0;+\mathrm{\infty })=(0;2)$$

   Questa è una prima parte della soluzione della disequazione. Se sostituisci i numeri di questo intervallo, la disequazione sarà verificata. Per esempio, se al posto di x sostituiamo x = 1, che è un numero dell’intervallo (0; 2), otteniamo la disequazione $\frac{2}{1}+3>4$, cioè 5 > 4. Ora resta da esaminare il caso in cui numeratore e denominatore sono entrambi negativi.

2. Nel caso in cui numeratore e denominatore devono essere entrambi negativi, risolviamo le disequazioni:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Anche qui risolviamo rapidamente la disequazione 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   La seconda soluzione è di nuovo semplicemente x < 0. Scriviamole come intervalli: (2; +∞) e (−∞; 0), e facciamo l’intersezione:

   $$(2;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };0)=\mathrm{\varnothing }$$

   Abbiamo ottenuto l’insieme vuoto. Che cosa significa? Che la frazione $\frac{2-x}{x}$ non può mai avere il numeratore negativo e allo stesso tempo il denominatore negativo.

Ora uniamo i due risultati precedenti e otteniamo l’insieme delle soluzioni S:

$$S=(0;2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0;2)$$

La disequazione $\frac{2}{x}+3>4$ è soddisfatta per tutti gli x dell’intervallo (0; 2). Possiamo disegnare un grafico con le funzioni $f(x)=\frac{2}{x}+3$ e g(x) = 4:

Vediamo che il grafico rosso della funzione $f(x)=\frac{2}{x}+3$ sta sopra il grafico blu della funzione g(x) = 4 proprio nell’intervallo (0; 2).

Disequazioni lineari con il valore assoluto

Un po’ più di divertimento ci aspetta con le disequazioni che contengono il valore assoluto. Devi infatti calcolare separatamente quando l’espressione dentro il valore assoluto è positiva, e quindi il segno non cambia, e quando è negativa e il segno cambia: in sostanza nascono due disequazioni in una. Ecco un esempio semplice:

$$|x+5|<12$$

Prima di tutto dobbiamo determinare il valore che annulla l’argomento del valore assoluto, cioè il numero che, sostituito, rende uguale a zero l’intera espressione dentro il valore assoluto, e che serve a determinare gli intervalli in cui il segno cambia e quelli in cui non cambia. Come prima cosa risolviamo quindi l’equazione

$$x+5=0$$

Vediamo che il risultato è x = −5. Questo risultato divide i valori di x in due intervalli. In uno la funzione x + 5 assume valori positivi e nell’altro negativi. Nell’intervallo (−∞; −5) otteniamo quindi numeri negativi e nell’intervallo [−5; +∞) numeri positivi, o meglio non negativi. Per esempio, nella prima riga c’è un numero del primo intervallo, nella seconda uno del secondo:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Che cosa ci dice questo? Che se al posto di x sostituiamo un valore maggiore di meno cinque, il valore assoluto non cambia il risultato, perché x + 5 sarà un numero positivo. Al contrario, se il valore di x è minore di meno cinque, il risultato di x + 5 sarà negativo e il valore assoluto lo trasformerà in positivo. Per questo nella disequazione dobbiamo distinguere questi due casi.

Per prima cosa calcoliamo il risultato nel caso in cui prendiamo x dall’intervallo [−5; +∞). In questo caso il segno non cambia, perché togliamo semplicemente il valore assoluto.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty };7)\end{array}$$

Abbiamo quasi la prima soluzione. Dobbiamo ancora fare l’intersezione con l’intervallo da cui stiamo scegliendo x. Ci muoviamo infatti nell’intervallo [−5; +∞), quindi il risultato di questa disequazione lineare non può essere per esempio x = −15, perché non appartiene al nostro intervallo. Dobbiamo quindi fare l’intersezione:

$$[-5;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };7)=[-5;7)$$

Questo è il primo risultato. Ora dobbiamo calcolare il risultato nel caso in cui prendiamo x dall’intervallo (−∞; −5). In questo intervallo il valore assoluto cambia il segno. Se vogliamo togliere il valore assoluto dalla disequazione, dobbiamo quindi cambiare il segno da soli, cioè moltiplicare l’espressione sotto il valore assoluto per il numero −1, così le cambiamo il segno. Riscriviamo quindi così:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Sommiamo 5 a entrambi i membri:

$$-x<17$$

E moltiplichiamo per −1:

$$x>-17$$

Otteniamo così il risultato:

$$x\in (-17;+\mathrm{\infty })$$

Ma, come prima, il valore di x lo scegliamo dall’intervallo (−∞; −5), quindi dobbiamo ancora fare l’intersezione di questo intervallo con il nostro risultato:

$$(-17;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };-5)=(-17;-5)$$

Ora abbiamo entrambi i risultati e non resta che unirli:

$$x\in [-5;7)\cup (-17;-5)=(-17;7)$$

Per verificare, possiamo guardare i grafici di queste funzioni:

Ancora due parole su quando usare un intervallo chiuso e quando uno aperto. Se abbiamo una disuguaglianza stretta, cioè x>0, usiamo un intervallo aperto, perché x non può essere uguale a zero. Se la disuguaglianza non è stretta, x ≥ 0, usiamo un intervallo chiuso, perché x può essere uguale a zero. Per esempio, se nella disequazione che abbiamo appena risolto sostituisci x = 7, che «per un soffio» non fa parte della soluzione, ottieni:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

La disequazione non è verificata: 12 non è minore di 12.