부정적분

함수를 적분하는 과정은 함수를 미분하는 과정의 반대이다.

부정적분

쉬운 문제부터 시작하자. 함수 f(x) = 2x가 있다. 이제 미분하면 함수 f가 되는 함수 F를 찾아보자. 형식적으로 쓰면 F′ = f를 만족하는 함수 F를 찾는 것이다.

기본적인 미분 공식에서 함수 F(x) = x²이 그런 함수라는 것을 안다. 함수 x²의 도함수는 2x이다. 이 조건을 만족하는 함수가 이것 하나뿐인지가 문제이다.

답은 하나뿐이 아니라는 것이다. 함수 x²에 어떤 실수 상수를 더해도 미분하면 다시 함수 2x를 얻는다. 상수의 도함수는 0이기 때문이다. c가 실수 상수일 때 x² + c 꼴의 함수는 모두 구하는 함수 F로 볼 수 있다.

이 문제를 일반화할 수 있다. 실수 함수 f가 주어질 때, D(f)의 모든 x에 대해, 또는 정의역에 속하는 어떤 구간의 모든 x에 대해 F′(x) = f(x)를 만족하는 함수 F를 찾자. 이런 함수는 하나로 정해지지 않을 수도 있고, 반대로 아예 없을 수도 있다.

이 함수 F를 함수 f의 부정적분(원시함수)이라고 하고, 다음과 같이 쓴다.

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

함수 f를 피적분함수라고 하고, 부정적분을 찾는 과정을 적분이라고 한다. 식 dx는 어떤 변수에 대해 적분하는지 나타낸다. 예제를 다음과 같이 쓰면

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

함수 4x³의 부정적분을 변수 x에 대해 구한다는 뜻이다. 결과는 예를 들어 미분하면 4x³이 되는 함수 x⁴이다. 물론 이 함수에 어떤 실수 상수든 더할 수 있다.

부정적분은 존재하지 않거나, 언제나 F(x) + c(c는 어떤 실수 상수) 꼴이라는 것을 증명할 수 있다. 그리고 실수 상수가 무한히 많으므로 부정적분도 무한히 많다. 그래서 함수 F(x)를 하나 찾으면 모든 부정적분을 만들어 낼 수 있다. 또 이 방법으로 만들어지지 않는 다른 함수는 주어진 함수의 부정적분이 아니다.

식 dx에 대해 몇 마디 덧붙이자. 아주 신비로워 보이지만 정말 어떤 변수에 대해 적분하는지 나타낼 뿐이다. 예를 들어 다음 적분은

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

변수 b에 대해 적분한다는 뜻이고, 나머지 문자 a와 c는 상수처럼 다룬다. 즉 그 자리에 수가 있는 것과 같다.

기본 함수의 적분

몇몇 기본 함수의 부정적분 공식은 쉽게 이끌어 낼 수 있다. 이 절에서는 내내 c ∈ ℝ이라고 하자.

함수 f(x) = 0, 즉 영함수부터 시작하자. 미분하면 0이 되는 함수는 무엇일까? 상수만으로 이루어진 함수는 모두 그렇다.

$$\int 0\text{ d}x=c$$

다음은 함수 f(x) = 1이다. x′ = 1이므로 1의 적분은 다음과 같다.

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

다음 차례는 함수 f(x) = x이다. 어떤 함수를 미분해야 결과로 x를 얻을까? x²을 미분하면 2x를 얻는다. 원하는 데에 거의 다 왔다. 2로 나누기만 하면 된다. 그래서 (x²)/2을 미분하면 x를 얻는다.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

이를 함수 xⁿ(n ∈ ℝ)으로 일반화하면 다음 공식을 얻는다.

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

이 공식은 n = −1이면 성립하지 않는다는 것에 주목하자. 0으로 나누게 되는데, 그러면 안 되고 보기에도 좋지 않다. 그래서 n = −1이면 함수 f(x) = x⁻¹, 즉 함수 1/x을 얻는다. 어떤 함수를 미분해야 1/x을 얻을까? 로그이다.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

문제는 로그가 양의 실수에서만 정의되므로 이 공식이 D(f)의 모든 x에 대해 성립하지는 않는다는 것이다. 그래도 구간 (0, ∞)에서는 성립한다. 구간 (−∞, 0)에서는 로그 안의 식의 부호만 바꾸면 된다. ln(−x)이다. 이를 합치면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

이 공식은 모든 x ∈ D(f)에 대해 성립한다. 예를 들어 삼각함수의 적분은 다음 표에 있다.

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{(단, }a>0,a\ne 1\text{)}\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

합의 적분

어떤 함수의 도함수를 구하는 것은 대개 꽤 쉽고, 흔히 말하듯 훈련된 원숭이도 할 수 있다. 보통 공식대로 하면 되기 때문이다. 하지만 적분은 다르다. 적분을 구하는 방법은 꽤 복잡해서, 적분을 구하는 문제는 도함수를 구하는 것보다 훨씬 어렵다. 주된 이유는 합의 적분에는 기대한 대로의 공식이 있지만 곱의 적분에는 없기 때문이다.

다음 적분을 구해 보자.

$$\int x+1\text{ d}x$$

어떻게 구할 수 있을까? 미분하면 x가 되는 함수와 미분하면 1이 되는 함수가 필요하다. 공식에서 그 함수가 (x²)/2과 x라는 것을 이미 안다. 이 함수들을 더하면 f(x) = (x²)/2 + x를 얻는다. 이 함수를 미분하면 x + 1을 얻는다. 이렇게 결과를 얻었다.

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

계산하면서 한 가지 성질을 썼다. 합의 적분은 적분의 합과 같다. 즉 다음이 성립한다.

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

뺄셈에서도 성립한다.

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

그래서 앞의 예제를 다음과 같이 풀어 쓸 수 있었다.

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

상수를 밖으로 꺼내기

상수를 적분 기호 밖으로 꺼내는 데에도 비슷한 정리가 성립한다. 다음 꼴의 적분이 있으면

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

여기서 a가 어떤 실수 상수이면, 이 상수를 적분 기호 밖으로 꺼낼 수 있다.

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

예제

다음 적분을 구하시오.

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

첫 단계에서 이것을 적분 세 개로 나눈다.

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

적분을 차례로 푼다. 첫 번째 적분은 거듭제곱 xⁿ의 공식으로 바로 풀 수 있다.

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

두 번째 적분에서는 먼저 6을 밖으로 꺼낸다.

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

x의 적분은 다시 표에 있는 값으로 (x²)/2과 같다. 그래서 다음을 얻는다.

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

마지막 적분에서도 먼저 42를 밖으로 꺼낸다.

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

이것도 표에 있는 값이다.

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

나누어 구한 적분들을 더하면 결과를 얻는다.

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

한 가지 더 참고하자. 나누어 구한 적분마다 상수 c가 나왔으므로 더할 때 결과에 +c 대신 +3c라고 써야 할 것 같다. 하지만 c는 아무 실수 상수이므로 3c도 다시 어떤 실수가 된다. 각 적분의 c를 c₁, c₂, c₃으로 바꾸고 c = c₁ + c₂ + c₃이라고 말할 수도 있다.