원기둥의 겉넓이

원기둥의 겉넓이는 원기둥을 둘러싼 면들의 넓이를 모두 더한 값이다. 원기둥의 부피와 혼동하지 않도록 주의하자. 부피는 “원기둥에 물을 몇 리터 부을 수 있는지”를 나타낸다. 원기둥이 어떻게 생겼는지 살펴보자.

공식

공식만 필요하다면, 밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원기둥의 겉넓이는 다음과 같다.

$$S=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

계산기: 원기둥의 겉넓이 구하기

공식의 유도

원기둥에는 밑면이 두 개 있다. 위와 아래에 있는 두 원이다. 또 원기둥에는 두 밑면 “사이”의 곡면인 옆면이 있다. 원기둥의 겉넓이를 구하려면 두 밑면의 넓이와 옆면의 넓이를 구해 모두 더해야 한다. 밑면은 원이므로 원의 넓이 공식을 쓴다.

$$S_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

여기서 r은 밑면의 반지름이다. 그림에서 가로로 그린 점선이다. 예를 들어 r = 6이면 밑넓이는 다음과 같다.

$$S_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

이제 옆넓이를 구해야 한다. 옆면은 “둥글게 만” 직사각형이라는 것을 알 수 있다. 이 직사각형의 한 변의 길이는 원기둥의 높이 h와 같다. 그림에서 세로로 그린 점선이다. 다른 한 변의 길이는 “펼쳤을 때” 밑면인 원의 둘레와 같다. 따라서 먼저 원의 둘레 공식으로 밑면의 둘레를 구한다.

$$l=2\cdot \pi \cdot r$$

대입하면 다음과 같다.

$$l=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

밑면의 둘레는 12π이다. 직사각형의 넓이를 $S_{◻}$라고 하면, 두 변의 길이를 곱하여 간단히 구할 수 있다.

$$S_{◻}=12\pi \cdot h$$

원기둥의 높이가 예를 들어 h = 10이라면 다음을 얻는다.

$$S_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

원기둥 전체의 겉넓이를 S라고 하면, 구한 넓이를 모두 더하여 얻는다(원기둥에는 밑면이 두 개 있다는 것을 잊지 말자).

$$S=S_{\circ }+S_{◻}+S_{\circ }$$

대입하면 다음과 같다.

$$S=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

결과에 π가 남는 것이 싫다면 π 대신 근삿값 3.14를 대입하여 근삿값을 얻을 수 있다.

$$S\fallingdotseq 192\cdot 3.14=602.88$$