미분의 기본 예제

이 글에서는 먼저 미분에 쓸모 있는 공식 몇 가지를 보고, 그다음 간단한 함수와 복잡한 함수를 미분해 본다. 풀이가 있는 예제가 아니라 미분의 정의에 대한 설명이 필요하다면 함수의 미분으로 가자.

다항함수의 미분

먼저 다항식 꼴인 함수를 미분할 때 필요한 공식 몇 가지를 보자. 왼쪽에는 미분하려는 기본 함수가, 오른쪽에는 미분한 결과 함수가 있다. 분명히 해 두면, c는 상수이고(그래서 첫째 줄은 상수함수이다) x에 대해 미분한다.

$\begin{array}{rcl} c^{'} & = & 0 \\ x^{'} & = & 1 \\ (x^{c})^{'} & = & c \cdot x^{c - 1} \end{array}$

구체적인 예를 몇 가지 보자.

$f (x) = 5$

이것은 상수함수이므로 첫 번째 공식을 적용하면 다음을 얻는다.

$f^{'} (x) = 0.$

일차함수 f(x) = x의 도함수는 두 번째 공식에 따라 다음과 같다.

$f^{'} (x) = 1,$

더 따져 볼 것이 없다. 그러니 다음 함수를 미분해 보자.

$f (x) = x^{5} .$

마지막 공식을 적용하고 c에 지수, 즉 c = 5를 대입한다.

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$

이 공식은 지수가 음수여도 성립하므로 다음 함수를 미분하면

$f (x) = x^{- 7},$

다음을 얻는다.

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = - 7 x^{- 7 - 1} = - 7 x^{- 8} .$

더 나아가려면 함수의 합과 곱에 대한 공식이 필요하다. 그리고 미분한 함수에서 원래 함수를 되찾으려면 적분을 쓴다.

합의 미분

여러 식의 합으로 이루어진 함수를 미분하려면 각 항을 미분하고 그 결과를 더하기만 하면 된다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$(f_{1} (x) + f_{2} (x))^{'} = f_{1}^{'} (x) + f_{2}^{'} (x)$

간단한 예로 함수 f(x) = x + 5를 보자. 이 함수의 도함수는 다음과 같다.

$f^{'} (x) = x^{'} + 5^{'} = 1 + 0 = 1.$

함수를 다음 두 함수로 나누었고

$\begin{array}{rcl} f_{1} (x) & = & x \\ f_{2} (x) & = & 5 \end{array}$

공식에 대입했을 뿐이다. 즉 함수 f₁과 f₂를 미분하고 그 결과를 더했다. 뺄셈도 똑같다. 더 복잡한 예를 보자.

$f (x) = x^{3} + x - 8$

이번에도 세 항을 각각 미분하고 그대로 더한다.

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} + x^{'} - 8^{'} = 3 x^{2} + 1 + 0$

곱의 미분

곱은 아쉽게도 보통의 덧셈처럼 간단히 풀리지 않는다. 두 함수의 곱에는 조금 복잡한 공식을 써야 한다.

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

곱을 포함하는 간단한 함수의 예로 다음 함수가 있다.

$s (x) = 5 \cdot x^{2}$

곱의 공식에는 함수가 두 개 있다. 이 하나의 함수 s(x)에서 f(x) = 5와 g(x) = x²을 얻는다. 이제 대입하기만 하면 된다.

$s^{'} (x) = 5^{'} \cdot x^{2} + 5 \cdot (x^{2})^{'} = 0 \cdot x^{2} + 5 \cdot 2 x = 10 x$

함수가 다음 꼴이면

$f (x) = a \cdot x^{c},$

미분해서 다음을 얻는다는 것을 알 수 있다.

$(a \cdot x^{c})^{'} = a \cdot (x^{c})^{'} = a \cdot c \cdot x^{c - 1} .$

이 규칙은 더 일반화해서 다항식 대신 아무 함수나 넣을 수 있다. 즉 어떤 함수 f(x)에 대해서도 다음이 성립한다.

$(a \cdot f (x))^{'} = a \cdot f^{'} (x) .$

예로 다음 함수를 미분해 보자.

$f (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 10$

미분할 때 먼저 합의 규칙을 적용한다.

$f^{'} (x) = (5 x^{3})^{'} - (7 x^{2})^{'} + 10^{'} =$

곱으로 된 식은 바로 앞의 공식에 따라 풀어 쓴다.

$= 5 (x^{3})^{'} - 7 (x^{2})^{'} + 10^{'} =$

괄호 안의 식을 x^c의 미분 규칙에 따라 미분한다.

$= 5 \cdot 3 x^{2} - 7 \cdot 2 x + 0 =$

마지막으로 계수를 곱하기만 하면 된다.

$= 15 x^{2} - 14 x .$

몫의 미분

몫의 미분은 곱의 미분보다 또 조금 더 복잡하다. 공식은 다음과 같다.

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

나머지 방법은 곱과 같다. 바로 예를 보자.

${(\frac{x^{2} + 3 x + 1}{2 x - 1})}^{'} =$

분수의 분자가 함수 f(x), 분모가 함수 g(x)이다. 이제 공식에 대입하기만 하면 된다.

$= \frac{(x^{2} + 3 x + 1)^{'} (2 x - 1) - (x^{2} + 3 x + 1) (2 x - 1)^{'}}{(2 x - 1)^{2}} =$

분모에는 분모의 제곱이 있고, 분자에는 공식에 따라 풀어 쓴 식이 있다. 이제 첫 번째 괄호와 마지막 괄호를 미분한다. 여기서도 합의 규칙을 쓰는데, 이 과정은 건너뛰고 바로 결과를 쓰겠다.

$= \frac{(2 x + 3) (2 x - 1) - 2 (x^{2} + 3 x + 1)}{(2 x - 1)^{2}} = \dots$

이 식은 더 간단히 할 수 있지만, 이 절에서는 중요하지 않다.

기본 함수의 미분

이제 따로 이끌어 내지 않고 흔히 쓰는 함수의 도함수 공식을 몇 가지 정리한다.

지수함수와 로그함수:

$\begin{array}{rcl} (c^{x})^{'} & = & c^{x} \ln c; c > 0 \\ (e^{x})^{'} & = & e^{x} \\ (\log_{a} x)^{'} & = & \frac{1}{x \cdot \ln a}; a > 0 \land a \neq 1 \\ (\ln x)^{'} & = & \frac{1}{x} \end{array}$

함수 e^x의 도함수는 다시 e^x이라는 것에 주목하자. 오타가 아니라, 수많은 농담의 소재가 된 멋진 성질이다.

삼각함수:

$\begin{array}{rcl} (\sin x)^{'} & = & \cos x \\ (\cos x)^{'} & = & - \sin x \\ (\tan x)^{'} & = & \frac{1}{\cos^{2} x} \\ (\cot x)^{'} & = & - \frac{1}{\sin^{2} x} \end{array}$

간단한 예를 보자.

$(3 \sin x + 2 \ln x)^{'} =$

두 식이 더해져 있으므로 두 식의 도함수를 더하기만 하면 된다. 각 식의 앞에는 그 뒤의 함수에 곱해지는 상수가 있다. 이때는 함수만 미분하고 상수는 그대로 두면 된다는 것을 안다. 그렇게 하자.

$= 3 (\sin x)^{'} + 2 (\ln x)^{'} =$

이제 공식표에 있는 그대로이다.

$= 3 \cos x + 2 \frac{1}{x} = 3 \cos x + \frac{2}{x} .$

합성함수의 미분

미분의 성질과, 미분으로 그래프의 개형을 조사하는 방법에서 알 수 있듯이, 어떤 조건에서는 미분가능한 두 함수를 합성해서 다시 미분가능한 함수를 얻을 수 있다. 이런 합성함수의 도함수를 구하는 방법을 보자.

합성함수의 미분은 아마 이 기본적인 미분 가운데 가장 어려운 개념일 것이다. 함수는 합성할 수 있다. 합성함수가 무엇인지는 함수란 무엇인가나 함수의 정의역에서 더 자세히 읽을 수 있다. 대략 말하면 한 함수의 인수로 다른 함수를 넣는다는 뜻이다. 기호로 쓰면 h(g(x))이다. 구체적인 함수의 예는 다음과 같다.

$f (x) = \sin (2 x) .$

여기에는 어떤 두 함수가 있을까? 사인과, 그 안에 들어 있는 함수 2x이다. 이 함수 f에 sin(x)의 일반적인 공식을 그냥 적용할 수는 없다. 그 공식은 인수로 2x가 아니라 x를 받는다고 가정하기 때문이다. 합성함수의 도함수는 다음과 같이 구한다.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & h (g (x)) \\ f^{'} (x) & = & h^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \end{array}$

즉 바깥 함수를 미분하되 인수는 그대로 두고, 여기에 안쪽 함수를 미분한 것을 곱한다. 사인의 예에서는 다음이 성립한다.

$(\sin (2 x))^{'} = \sin^{'} (2 x) \cdot (2 x)^{'} =$

사인에만 붙은 프라임은 등식 왼쪽에서처럼 식 전체를 미분하는 것이 아니라 사인만 미분한다는 뜻이다. 사인의 도함수는 코사인이므로 사인 자리에 코사인을 쓰기만 하면 된다. 그리고 2x의 도함수는 2이다.

$= \cos (2 x) \cdot 2 = 2 \cos (2 x) .$

조금 더 복잡한 다른 예를 보자.

$(\cos (\ln x^{2}))^{'} =$

여기에는 안쪽 함수가 하나 더 있다. 바깥 함수는 코사인, 가운데는 로그, 가장 안쪽은 거듭제곱 x²이다. 그래도 이번에도 공식에 따라 한다. 풀어 쓰면 다음과 같다.

$= \cos^{'} (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

코사인만 미분하고, 코사인의 인수는 그대로, 즉 로그 전체를 그대로 둔다. 이 식 전체에 다시 인수의 도함수, 즉 로그의 도함수를 곱한다. 코사인을 미분하면 다음과 같다.

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

오른쪽 식은 바뀌지 않았고 코사인만 미분했다. 이제 로그의 미분으로 넘어가자. 이것도 합성함수이므로 합성함수의 공식을 되풀이해서 적용한다. 왼쪽 식은 그대로 옮겨 쓴다.

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \ln^{'} x^{2} \cdot (x^{2})^{'} =$

로그를 미분하되 인수는 그대로, 즉 x²으로 둔다. 하지만 식 전체에 다시 인수의 도함수, 즉 바로 x²의 도함수를 곱한다. 로그의 도함수는 분수 1/x이고, x에 인수 x²을 대입한다. 그리고 x²의 도함수는 2x이다.

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{1}{x^{2}} 2 x = - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{2}{x} = - \frac{2 \sin (\ln x^{2})}{x} .$

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