미분의 심화 예제

공식을 그대로 쓰는 기본 계산보다 조금 더 복잡한 미분 예제 몇 가지이다. 미분의 정의에 대한 설명이 필요하다면 함수의 미분으로 가자.

첫 번째 예제

아직 그리 어렵지 않은 것부터 시작하자.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

미분 공식에서 함수 e^x의 도함수가 다시 e^x이라는 것을 안다. 아쉽게도 이 예제에는 이 간단한 방법을 그대로 쓸 수 없다. 지수에 x가 아니라 −x가 있으므로 이 함수를 합성함수로 풀어야 한다. 하지만 첫 단계에서는 어쨌든 곱의 미분 공식으로 풀어 쓴다.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

왼쪽의 다항식은 기본 공식으로 미분하고 나머지는 그대로 둔다.

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

이제 마지막 함수를 미분해야 한다. 앞에서 말했듯이 합성함수이므로 합성함수의 미분법에 따라 미분해야 한다.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

따라서 이 함수의 도함수는 다음과 같다.

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

식 e^−x은 그대로 남는다. e^x의 도함수는 다시 e^x이고, 공식의 첫 단계에서는 바깥 함수를 미분하고 안쪽 함수는 미분하지 않은 채 두기 때문이다. 둘째 단계에서는 중간 결과에 안쪽 함수, 즉 함수 −x의 도함수를 곱한다. 함수 −x의 도함수는 −1이다. 이제 결과를 앞의 식에 대입하기만 하면 된다.

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

두 번째 예제

두 번째 예제는 다음과 같다.

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

분수가 있고, 분자에 한 함수, 분모에 다른 함수가 있다. 그래서 첫 단계에서는 몫의 미분 공식에 따라 미분한다. 공식을 적용하면 다음을 얻는다.

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

끝에서부터 보자. 먼저 탄젠트를 미분한다. 기본 공식으로 간단히 미분할 수 있기 때문이다. 다음이 성립한다.

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

이 공식을 분수의 분자에 적용하면 다음을 얻는다.

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

이제 로그를 미분해야 한다. 아쉽게도 로그 안에 또 다른 함수가 있으므로 합성함수이고, 로그를 합성함수로 더 복잡하게 미분해야 한다. 로그 자체의 도함수는 1/x인데, x에는 로그 안의 식, 즉 코사인을 넣는다. 그리고 안쪽 함수의 도함수, 즉 코사인의 도함수를 곱해야 한다. 그래서 로그의 도함수는 다음과 같다.

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

꽤 깔끔한 분수가 나왔다. 삼각함수를 잘 기억한다면 이 분수가 탄젠트와 같다는 것을 알 것이다. 그래서 전체가 마이너스 탄젠트와 같다고 쓸 수 있다.

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

이것을 앞의 결과에 대입한다.

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

분자에 탄젠트가 두 번 있으므로 간단히 제곱할 수 있다. 로그는 그다음 분수의 분자로 옮길 수 있다.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

이제 분자를 나누어 분수 두 개를 얻을 수 있다.

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

첫 번째 분수는 분자와 분모가 같으므로 1이 된다. 두 번째 분수는 분자와 분모에 식 cos²x를 곱해서 분자의 분수를 없앨 수 있다.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

이제 탄젠트를 몫 sin(x)/cos(x)로 풀어 쓸 수 있다. 탄젠트가 제곱이므로 분수의 분자와 분모도 제곱이 된다. 그다음 cos²x를 바로 약분할 수 있다.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

이것이 미분의 최종 결과이다.

세 번째 예제

다음 함수의 도함수를 구하시오.

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

잘 보이지 않는다면, 모두 지수이다. 즉 “x의 (x의 2분의 1제곱)제곱”이다. 첫 단계에서는 다음 공식에 따라 변형한다.

$$x=e^{\ln x}$$

이 공식으로 예제의 첫 번째 x를 풀어 쓴다.

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

이제 거듭제곱의 공식을 적용한다.

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

괄호를 없애고 가장 위의 지수와 로그를 곱으로 묶는다.

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

이제 미분하기 더 좋은 꼴이 되었다. 합성함수이므로 합성함수의 미분법으로 미분한다. 첫 번째 함수는 e^x이고 x에 지수 전체를 넣는다. 두 번째 함수는 지수에 있는 함수이다. 그래서 풀어 쓰면 다음을 얻는다.

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

괄호 안은 곱이므로 곱의 미분법을 적용한다.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

로그의 도함수는 1/x이다.

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

이제 두 번째 식을 거듭제곱 함수의 기본 미분 공식에 따라 미분한다. 다음이 성립한다.

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

이 결과를 계산에 대입한다.

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

첫 번째 곱도 거듭제곱의 공식으로 정리할 수 있다.

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

방금 계산한 것으로 앞의 식을 다시 쓴다.

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

마지막으로 로그를 분수의 분자로 옮긴다.

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

첫 번째 분수의 분자와 분모에 2를 곱하면 두 분수를 더할 수 있다.

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

이제 도함수 전체로 돌아갈 수 있다.

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

e^{ln x}을 다시 x로 바꾼다.

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

이렇게 최종 결과를 얻었다.