정적분

정적분은 함수로 나타낸 도형의 넓이를 재는 데 쓴다.

정적분이 필요한 이유

함수 $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$가 있다. 이제 이렇게 물을 수 있다. 점 a = 0부터 점 b = 10까지 그래프의 곡선 아래의 넓이는 얼마일까? 즉 x축, 함수 f의 그래프인 곡선, 그리고 점 a와 b를 지나는 세로 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이가 궁금하다. 그림에 모두 나타냈다.

파란색으로 표시한 부분의 넓이가 궁금하다. 어떻게 구할까? 파란 부분 전체를 여러 작은 부분으로 나누고, 그 작은 부분의 넓이를 구해서 모두 더할 수 있다. 작은 부분의 넓이를 구하려면 공식으로 넓이를 구할 수 있는 알맞은 모양이어야 한다. 직사각형이 떠오른다.

먼저 x₀ = a, x_n = b인 증가하는 점의 열 x₀부터 x_n까지를 고른다. n이 클수록 더 정확한 결과를 얻는다. 간단한 열 x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10을 고른다. 이웃한 점으로 구간 [x_{i − 1}, x_i]를 만든다. 즉 다음 구간의 집합을 얻는다.

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

첫 번째 구간을 D₁, 두 번째 구간을 D₂라고 하고, 나머지도 마찬가지로 부른다. 다음으로 각 구간 D_i에서 함수 f의 가장 작은 값을 찾는다. 예를 들어 D₁에서 함수 f는 x = 0에서 가장 작은 값을 가지며 f(0) = 0이다. D₂에서는 점 x = 1에서 가장 작은 값을 가지며 $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\fallingdotseq 1.0915$이다. 나머지도 마찬가지이다. 이 함숫값에 이름을 붙이자. 구간 D_i에서 가장 작은 함숫값을 m_i라고 한다. 그래서 $m_1=0,m_2\fallingdotseq 1.0915$이고, 나머지도 마찬가지이다.

이제 그래프에 직사각형을 그린다. i번째 직사각형은 너비가 x_i − x_{i − 1}이고 높이가 m_i이다.

구간마다 직사각형이 하나씩 있고, 이 직사각형은 완전히 곡선 아래에 있으면서 가장 높다는 것을 알 수 있다. i번째 구간에 있는 직사각형의 높이는 m_i이다. 이제 이 직사각형의 넓이를 더하면 곡선 아래 넓이의 대략적인 어림값을 얻는다. 곡선 아래에 직사각형을 많이 그릴수록 어림값은 더 정확해진다. i번째 직사각형의 넓이는 s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1})로 구하므로 모든 직사각형의 넓이의 합은 다음과 같다.

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

거꾸로 할 수도 있다. 구간 D_i에서 언제나 가장 작은 함숫값 대신 가장 큰 함숫값을 택한다. 이 함숫값을 M_i라고 하자. 그러면 직사각형은 다음과 같다.

이번에도 구간마다 직사각형이 하나씩 있고, 높이는 언제나 M_i이다. 직사각형의 윗변은 그 구간의 극대인 점에서만 곡선에 닿는다. 각 직사각형의 넓이를 더하면 곡선 아래 넓이의 또 다른 어림값을 얻는다. 이 넓이는 다음과 같이 구한다.

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

이번에도 직사각형의 개수를 늘리면 더 정확한 어림값을 얻는다.

하합과 상합이라는 개념을 도입하자. s(D, f)를 하합이라고 하고, 그 값은 다음과 같다.

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

여기서 f는 구간 [a, b]에서 연속인 함수이고, x₀ = a, x_n = b이며, D는 구간 [a, b]를 작은 구간으로 나눈 분할이고, n은 그 구간의 개수이다. 상합은 S(D, f)로 나타내고 다음과 같다.

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

여기서 f는 함수이고 D는 구간 [a, b]를 n개의 구간으로 나눈 분할이다.

그런데 간단히 말해 D가 클수록 값 s(D, f)와 S(D, f)는 서로 가까워지고, 결국 무한대에서 같아진다. 그래서 모든 가능한 분할 D에 대해 다음을 만족하는 실수 A가 하나뿐이다.

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

A는 어떤 수일까? 수 A가 곡선 아래의 넓이이다. 곡선 아래 직사각형의 넓이의 합 이상이면서 곡선 “위” 직사각형의 넓이의 합 이하인 값은 이것뿐이기 때문이다.

정적분의 정의

앞 절에서 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f와 모든 분할 D에 대해 s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f)가 성립한다는 것을 알았다. 이 수 A를 a에서 b까지 함수 f의 정적분이라고 한다. 다음과 같이 나타낸다.

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

뉴턴–라이프니츠 공식(미적분의 기본 정리)에 따르면 다음 관계가 성립한다.

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

여기서 F는 함수 f의 부정적분이다. 등식의 우변은 다음과 같이 쓰기도 한다.

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

정적분의 기하적인 뜻은 앞에서 말한 대로, 음이 아닌 함수 f의 곡선 아래의 넓이이다. 함수 $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$로 시작했으니 구간 [0, 10]에서의 넓이를 구해 보자. 다음 정적분을 구한다.

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

먼저 함수 f를 적분한다.

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

따라서 부정적분 F는 $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$ 꼴이다. 정적분을 풀어 쓴다.

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \fallingdotseq & 12.5+0.839+1\\ & \fallingdotseq & 14.339\end{array}$$

구간 [0, 10]에서 곡선 아래의 넓이는 약 14.339이다.