완전제곱식으로 고치기
완전제곱식으로 고치는 방법을 이용하면 이차함수 ax2 + bx + c를 (x + m)2 + n 꼴로 나타낼 수 있다.
완전제곱식으로 고치는 방법
이 방법은 잘 알려진 곱셈 공식을 이용한다.
방법은 다음과 같다. 우선 a = 1이라고 하자. 이차함수 f(x) = x2 + 6x + 1을 (x + m)2 + n 꼴로 바꾸고 싶다고 하자. 먼저 첫 번째 괄호 (x + m)2의 값을 정한다. m에는 어떤 수를 넣어야 할까? 공식에 따르면 등식 (x + m)2 = x2 + 2mx + m2이 성립해야 한다. 함수 f에는 x2이 있으므로 이 부분은 괜찮다. 그런데 일차항 자리에는 6x가 있다. 6x = 2mx가 성립하려면 m을 얼마로 정해야 할까? 분명히 m = b/2 = 6/2 = 3이어야 한다. 그래서 m에는 언제나 이차함수의 계수 b의 절반을 넣는다.
이렇게 (x + 3)2 + n 꼴을 얻었다. 이제 수 n을 정해야 한다. (x + m)2 = x2 + 2mx + m2이라는 것은 이미 알고 있다. x2 + 2mx 부분은 원하는 것이지만, 식 m2은 남는 부분이고 함수 f에는 이에 해당하는 것이 없다. 그래서 지금 결과에서 m2을 뺀다. 그러면 (x + m)2 − m2 꼴을 얻고, 전개하면 x2 + 2mx + m2 − m2이다. 빼고 나면 x2 + 2mx만 남는다.
그런데 함수 f에는 상수항 c도 있다. 이것은 그냥 더하면 된다. 그러면 (x + m)2 − m2 + c 꼴을 얻고, 전개하면 x2 + 2mx + m2 − m2 + c, 정리하면 x2 + 2mx + c가 된다. m = b/2이므로 이 식은 x2 + bx + c와 같다. 즉 식 (x + m)2 − m2 + c를 전개하면 원래 함수가 다시 나오므로 계산이 맞다. (다시 말하지만 a = 1이므로 빠진 것이 없다.)
따라서 예의 함수 f를 완전제곱식으로 고치면 (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8이다. 다시 전개해 보자.
완전제곱식으로 고치는 방법은 예를 들어 이차함수의 그래프를 그릴 때 쓴다.
a ≠ 1일 때
a = 1이 아닌 함수에서는 함수 전체에서 수 a를 공통인수로 묶은 다음 이미 아는 방법대로 하면 된다. 예를 보자.
식 전체를 2로 묶는다.
괄호 안의 식은 앞에서 본 방법대로 완전제곱식으로 고칠 수 있다.
이 결과를 앞의 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.