도로 경사를 각으로 바꾸기

도로에서 “오르막 경사” 교통 표지판(또는 “내리막 경사” 표지판)을 본 적이 있을 것이다. 이 표지판은 앞에 꽤 가파른 언덕이 있다고 알려 준다. 그런데 표지판은 경사를 퍼센트로 나타내는 반면, 각은 보통 도로 잰다. 퍼센트로 나타낸 경사는 무슨 뜻일까?

12%가 무슨 뜻인지 알아보려고 다음 그림을 보자.

자동차가 점 A에 있고, 그곳에 경사 12% 표지판이 서 있다고 하자. 이제 빨간 도로를 따라 언덕을 올라가서 수평 거리로 100미터를 간다. 도착점은 점 C이다. 수평 거리는 두 점 A와 B 사이의 거리이다. 실제로 자동차가 달리는 거리는 이보다 조금 길다. 언덕을 오르므로 거리 AC가 AB보다 조금 길기 때문이다. 하지만 점 C에 도착하면 높이가 12미터 높아진다. 이것이 선분 BC이다. 그리고 이것이 표지판이 알려 주는 내용이다. 경사 12%는 이 경사가 수평 거리로 100미터 이어지면 높이가 12미터 높아진다는 뜻이다. 경사가 14%라면 100미터에서 14미터 높아진다.

각도로 구하는 방법

그러면 꼭짓점 A에 있는 각 α의 크기는 어떻게 구할까? 즉 오르막길이 평평한 땅과 이루는 각은 얼마일까? 삼각함수, 그 가운데 탄젠트를 이용한다. 직각삼각형에서 각의 탄젠트는 밑변의 길이에 대한 높이의 비이다. 각 α에 대하여 높이는 변 BC이고, 밑변은 변 AB이다. 따라서 각 알파의 탄젠트는 다음과 같다.

$$\tan \alpha =\frac{12}{100}$$

하지만 알고 싶은 것은 각의 탄젠트가 아니라 각 α의 크기이다. 그러려면 변의 길이의 비를 알 때 각의 크기를 구해 주는 역삼각함수 아크탄젠트가 필요하다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}$$

이 값은 계산기로 구해야 한다. 예를 들어 Google에서 계산하면 다음 값을 얻는다.

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}={6.84}^{\circ }$$

길은 땅과 약 6.84°의 각을 이룬다.

계산기

경사는 세 가지 방법으로 나타낸다. 교통 표지판처럼 퍼센트로, 도로 나타낸 각으로, 또는 비 1 : n으로 나타낸다. 비에서 n은 길이 1미터 높아지는 동안 가는 수평 거리이다. 비는 경사로나 지붕 등에 쓴다. 아는 값을 넣으면 계산기가 나머지 두 값을 구해 준다.