덧셈과 뺄셈
덧셈과 뺄셈은 가장 기본적인 수학 연산으로, 일상생활에서도 꼭 필요하다. 덧셈은 여러 가지 대상에 대해 정의할 수 있지만 여기서는 정수의 덧셈만 다룬다.
덧셈
덧셈은 더하기 기호 +로 나타낸다. 덧셈에서는 수를 더한다. 예를 들어 2 + 3을 계산할 때 2와 3을 모두 더하는 수라고 한다. 그 결과를 합이라고 한다. 즉 2 + 3 = 5에서 5가 합이다.
거의 모든 수를 더할 수 있다. 1, 5, 157 같은 자연수든 −4, −74 같은 음수든 더할 수 있다. 또 유리수, 즉 분수나 π 같은 실수, 그리고 복소수도 더할 수 있다. 수가 아닌 행렬이나 벡터도 더할 수 있다.
덧셈은 보통 사과로 설명한다. 바구니에 사과가 세 개 있는데 누군가 사과를 네 개 더 주면 사과는 몇 개가 될까? 3 + 4 = 7이므로 7개가 된다.
큰 수의 덧셈
17564와 3272를 더하라고 하면 머릿속으로 바로 답을 말하기는 어려울 것이다. 그래서 계산기를 쓰거나 종이와 연필로 계산한다. 계산기 쓰는 법은 여기서 다루지 않고, 종이에 계산하는 방법을 알아보자.
더할 수들을 위아래로 쓰되, 같은 자리(십의 자리, 백의 자리, …)가 위아래로 맞도록 오른쪽 끝을 맞춘다. 두 수 아래에는 가로선을 긋는다. 그러면 다음과 같다.
이제 위아래로 놓인 숫자를 더한다. 두 숫자의 합이 10보다 작으면 그 합을 선 아래에 그대로 쓴다. 오른쪽, 즉 가장 낮은 자리부터 시작한다. 먼저 4 + 2를 더하면 6이다. 6은 10보다 작으므로 선 아래에 6을 쓴다.
계속해서 6 + 7을 더한다. 이 값은 13이고 10보다 크다. 이때는 선 아래에 일의 자리 숫자, 즉 3만 쓴다(13에서 10을 뺀 수이다).
떼어 낸 1은 어떻게 되었을까? 그리고 이 1은 무엇을 나타낼까? 지금 계산한 것은 오른쪽에서 두 번째 열, 즉 십의 자리이다. 그러니까 실제로는 십의 자리끼리, 즉 60 + 70 = 130을 더한 것이다. 그중 30만 남기고 100은 나중으로 미뤄 두었다. 언제로 미뤘을까? 다음 단계, 다음 열이다. 다음 단계에서는 백의 자리 숫자를 더하는데, 십의 자리를 더하면서 생긴 100이 하나 남아 있다. 그러니 다음 단계의 덧셈에서 그 100을 더해 주면 된다(받아올림).
그래서 다음 단계에서는 5 + 2 대신 5 + 2 + 1을 더한다. 여기서 1은 앞 단계에서 생긴 100을 나타낸다. 합은 8이고 10보다 작다. 선 아래에 8을 쓴다.
다음 단계로 넘어가는 1000은 없으므로 7 + 3 = 10만 더한다. 이 수는 10보다 작지 않으므로 선 아래에는 마지막 숫자를 쓰고 1은 다음으로 넘긴다. 선 아래에 0을 쓰고, 다음 단계로 10000을 하나 넘긴다.
마지막 열에는 첫째 줄에만 숫자가 있다. 둘째 줄에는 0이 있다고 생각하고 1 + 0을 더하는데, 앞 단계에서 넘어온 1을 잊지 말고 더해야 한다. 1 + 0 + 1 = 2이다. 선 아래에 2를 쓴다.
이것으로 알고리즘이 끝나고 합 17564 + 3272를 얻었다.
덧셈 세로셈 애니메이션
아래 칸에 자연수 두 개를 넣으면 덧셈의 전 과정을 애니메이션으로 볼 수 있다.
덧셈을 그림으로 나타내기
덧셈은 수직선 위에 나타낼 수 있다. 수직선은 모든 수가 표시된 직선이다. 예를 들면 다음과 같다.
이 수직선에서 두 수의 덧셈, 예를 들어 3+4를 나타내 보자. 원점, 즉 0에서 시작해서 3에서 끝나는 선분을 그린다. 덧셈에서는 출발한 점에서 오른쪽으로 선분을 긋는다. 다음과 같다.
이제 수직선 위에 4를 나타낸다. 이번에는 3에서 시작해서 오른쪽으로 길이가 4인 선분을 긋는다. 다음과 같다.
두 번째 초록색 선분이 끝난 점이 최종 결과이다. 3 + 4 = 7이다.
뺄셈
뺄셈은 덧셈의 역연산이다. 어떤 수 a에 수 b를 더한 뒤 다시 b를 빼면 원래 수 a로 돌아온다. 158,748 − 99,575를 예로 계산 방법을 알아보자. 덧셈과 마찬가지로 두 수를 위아래로 쓴다.
덧셈과 마찬가지로 결과는 선 아래에 쓴다. 오른쪽, 즉 가장 낮은 자리부터 계산하므로 먼저 일의 자리를 계산한다. 위의 숫자가 아래 숫자보다 작지 않으면 선 아래에 차 (위의 숫자) − (아래 숫자)를 쓴다. (거꾸로 말해 아래 숫자가 위 숫자보다 작거나 같으면 그냥 빼면 된다.) 일의 자리에서는 위 숫자가 작지 않으므로 차 8 − 5 = 3을 쓴다.
한 자리 왼쪽, 십의 자리로 간다. 여기서는 위 숫자가 아래 숫자보다 작다. 이때는 위 숫자에 10을 더한 뒤 같은 계산, 즉 (위의 숫자) + 10 − (아래 숫자)를 한다. 결과는 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7이다.
십의 자리를 뺄 때 십을 열 개 더 빌려 썼으므로 다음 단계에서 이것을 생각해야 한다. 십이 열 개면 백 하나이므로 다음 단계에서는 백을 하나 더 뺀다. 즉 아래의 5에 앞 단계의 1을 더한다. (한국 교과서에서는 보통 반대로 위 숫자에서 1을 빼는 받아내림을 쓰는데, 결과는 같다.)
이제 백의 자리에서는 7(위의 숫자)이 6(아래 숫자 + 1)보다 작은지 확인한다. 작지 않으므로 그대로 위 숫자에서 아래 숫자를 뺄 수 있다. 다만 뺄 때도 아래 숫자에 1을 더해야 하므로 결과는 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1이다.
이번 단계에서는 더 높은 자리에서 빌려 오지 않았으므로 다음 단계로 넘기는 것이 없다. 천의 자리에서는 어디에도 1을 더하지 않는다. 그런데 위의 8이 아래의 9보다 작으므로 위 숫자에 10을 더해야 한다. 그러면 차는 8 + 10 − 9 = 9이다.
다음 단계로 1을 넘기므로 이것을 아래 숫자에 더한다. 9에 1을 더하면 10이고 위의 5는 10보다 작다. 위 숫자에 10을 더하고 뺀다. 5 + 10 − (9 + 1) = 5이다.
이번에도 높은 자리에서 빌려 왔으므로 다음 단계로 1을 넘긴다. 다음 단계에서는 아래쪽에 숫자가 없으므로 0이라고 생각한다. 1을 더하면 1이 된다. 위 숫자가 아래 숫자보다 작지 않으므로(이번에는 같다) 그냥 뺀다. 1 − 1 = 0이다.
결과가 나왔다. 맨 앞의 0은 지우고 158,748 − 99,575 = 59,173으로 쓸 수 있다.
뺄셈을 그림으로 나타내기
뺄셈도 덧셈처럼 수직선 위에 나타낼 수 있다. 다만 선분을 긋는 방향만 바뀐다. 지금 있는 점에서 오른쪽이 아니라 왼쪽으로 선분을 긋는다. 예를 들어 2 − 5를 계산한다면 다음과 같이 한다. 먼저 수직선 위에 2를 양의 방향으로 나타낸다. 2는 양수이기 때문이다. 5는 빼는 수이므로 반대 방향으로 나타낸다.
이제 수직선에 −5를 나타내는 두 번째 선분을 긋는다. 앞에서 끝난 점, 즉 2에서 시작하지만 이번에는 뒤쪽, 즉 왼쪽으로 선분을 긋는다.
